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tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione

Pressoflessione retta

Compressione in presenza di eccentricità piccola o nulla

Usualmente $M_y$ ed $N$ sono riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo.

L'imposizione dell'equilibrio a traslazione ci dà

$$\iint \limits_{S} \sigma_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow \iint \limits_{S} E \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N $$

Valendo il principio di conservazione delle sezioni piane, nell'ipotesi di flessione retta, abbiamo

$$\varepsilon_x = \lambda + \chi_y \; z$$

Possiamo allora riscrivere l'equazione di equilibrio a traslazione

$$E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \left( \lambda + \chi_y \; z \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0 \Longrightarrow \lambda \, E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \chi_y \, E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N$$

Esprimibile anche come

$$\lambda \, E_0 \, A_\alpha + \chi_y \, E_0 \, S_{\alpha,y}= N$$

Lavorando in un sistema baricentrico rispetto alla sezione omogeneizzata $S_{\alpha,y} = 0$, quindi

$$\lambda = \frac{N}{E_0 \, A_\alpha}$$

Analogamente imponendo l'equilibrio a rotazione rispetto al baricentro della sezione in calcestruzzo

$$\iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M^*_y \Longrightarrow E_0 \, \lambda \iint \limits_{S} \alpha_e \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + E_0 \, \chi_y \iint \limits_{S} \, z^2 \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M_y \Longrightarrow \\ E_0 \, \lambda \, S_{\alpha,y} + E_0 \, \chi_y \, I_{\alpha,yy} = M^*_y \Longrightarrow \chi_y = \frac{M^*_y}{E_0 \, I_{\alpha,yy}}$$

$M^*_y$ è ottenuto traslando $N$ ed $M_y$ nel baricentro della sezione omogeneizzata. Supponendo che il sistema di riferimento di partenza sia riferito al baricentro della sola sezione in calcestruzzo, e assumendo $\left( y_{\alpha,G}, z_{\alpha,G} \right)$ le coordinate del baricentro della sezione omogeneizzata, avremo

$$M^*_y = M_y - N \; z_{\alpha,G} $$

Le tensioni saranno pari a

$$\sigma_z = \frac{N}{A_\alpha} + \frac{M^*_y}{I_{\alpha,yy}} y $$

Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l'unica accortezza di riferirle alla sezione omogeneizzata.

Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: alla luce dell'ipotesi di comportamento elastico lineare, è necessario verificare che tutta la sezione in calcestruzzo lavori in compressione, e quindi, che non venga tagliata dall'asse neutro.

Compressione in presenza di grande eccentricità

L'analisi dell'equilibrio a traslazione della sezione ci porta a riscrivere la formula già vista al paragrafo precedente

$$\lambda \, E_0 \, A_\alpha + \chi_y \, E_0 \, S_{\alpha,y}= N$$

la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti.

Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere:

  • in generale, con metodi iterativi implementati al calcolatore;
  • nel caso di sezioni di semplice geometria, con formule chiuse.

Sezione rettangolare

Supponiamo $N$ $\left( N < 0 \right)$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo.

Poniamo l'asse y all'altezza dell'asse neutro, di modo che $\lambda = 0$. Quindi l'equazione dell'equilibrio a traslazione diventa

$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$

Imponiamo ora l'equilibrio a rotazione rispetto all'asse neutro

$$E_0 \, \chi_y \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$

Dividendo le due equazioni appena scritte, con semplici passaggi otteniamo $x$ risolvendo l'equazione

$$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\ \left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right] \Longrightarrow \\ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2 - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\ - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2 - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\ \frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0 \Longrightarrow \\ N \, b \, x^3 - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$

Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l'equazione si trasforma in quella già vista nel relativo paragrafo.

E' possibile trovare le radici di un equazione di terzo grado mediante:

Procediamo co quest'ultima modalità. Per comodità di notazione facciamo le posizioni

$$a = N \, b \\ b = - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \\ c = 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] \\ d = 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] $$

trasformando l'equazione nella forma

$$a \, x^3 + b \, x^2 + c \, x + d = 0$$

Facciamo le ulteriori posizioni

$$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3 a^2} $$

$$q = \frac{d}{a} - \frac{bc}{3 a^2} + \frac{2b^3}{27 a^3} $$

Il metodo risoutivo per il calcolo delle radici prevede quindi di valutare il segno della quantità

$$\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$$

Nei casi di interesse pratico la suddetta quantità è negativa, quindi occorre calcolare la quantità complessa $- \frac{q}{2} + i \sqrt{-\Delta}$. Assunto pari a $\theta$ la fase di tale numero complesso in forma trgonometrica, le soluzioni sono

$$ x_{1,2,3} = 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos \frac{\theta + 2 \; k \; \pi}{3}$$

con $k = 0, \; 1, \; 2$

La soluzione $x$ ricercata, per avere significato fisico, dovrà essere $0 \le x \le h$.


tecnica_costruzioni/cls/ta_pressoflessione.txt · Ultima modifica: 2014/07/01 23:54 da mickele

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