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tecnica_costruzioni:cls:ta_flessione

Flessione

Flessione retta in una sezione rettangolare

Per individuare la posizione dell'asse neutro imponiamo l'annullamento del momento statico della porzione di sezione reagente, avendo cura di introdurre un coefficiente di omogeneizzazione $\alpha_e$ per tener conto dei diversi moduli di elasticità normale dei materiali

$$ \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( x - d_i \right) = 0$$

in cui:

  1. $x$ è la distanza dell'asse neutro dal bordo superiore compresso
  2. $\alpha_e$ è il coefficiente di omogeneizzazione
  3. $A_{sl,i}$ è l'area dell'armatura i-esima
  4. $d_{i}$ è la distanza dal lembo superiore compresso dell'armatura i-esima
  5. $b$ è la base della sezione rettangolare

L'equazione può essere scritta nella forma

$$ \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) x - \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i = 0$$

che, nel nostro caso, ha come soluzione accettabile

$$x = \frac{- \alpha_e \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) + \sqrt{ \alpha_e^2 \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right)^2 + 2 \, b \, \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i } }{b}$$

Nota la posizione dell'asse neutro, calcoliamo il momento di inerzia della sezione omogenerizzata

$$ J_\alpha = \frac{1}{3} b x^3 + \alpha_e \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 = \frac{1}{3} b x^3 + \alpha_e \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \, d_i^2 - 2 \, x \sum \limits_i \, A_{sl,i} \, d_i + x^2 \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) $$

La tensione massima nel calcestruzzo $\sigma_{c,max}$ è data da

$$\sigma_{c,max} = \frac{M}{ J_\alpha} x$$

La tensione nell'armatura i-esima $\sigma_{s,i}$ è data da

$$\sigma_{s,i} = \alpha_e \frac{M}{ J_\alpha} \left( d_i - x \right)$$

Può essere utile introdurre delle variabili adimensionali così definite

$$\xi = \frac{x}{d_{max}}$$

$$\rho_i = \frac{A_{sl,i}}{b \cdot d_{max}}$$

$$\delta_i = \frac{d_{i}}{d_{max}}$$

Con queste posizioni l'equazione per individuare $\xi$ può essere ricavata da quella gia vista per $x$, dividendo primo e secondo membro per $d_{max}$

$$\xi = \left( - \alpha_e \sum \limits_i \, \rho_{i} + \sqrt{ \alpha_e^2 \left( \sum \limits_i \, \rho_{i} \right)^2 + 2 \, \alpha_e \sum \limits_i \, \rho_{i} \, \delta_i } \right) $$

Flessione retta in una sezione a T

Se l'asse neutro taglia la soletta ($x \le t$) è possibile usare le equazioni viste sopra. Nel caso invece l'asse neutro tagli l'anima della sezione ($x > t$), è necessario riscrivere l'equazione di annullamento del momento statico della sezione reagente omogeneizzata

$$ \frac{1}{2} b_0 \, x^2 + (b - b_0) \cdot t \cdot \left( x - \frac{t}{2} \right) + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( x - d_i \right) = 0$$

in cui:

  1. $x$ è la distanza dell'asse neutro dal bordo superiore compresso
  2. $\alpha$ è il coefficiente di omogeneizzazione
  3. $A_{sl,i}$ è l'area dell'armatura i-esima
  4. $d_{i}$ è la distanza dal lembo superiore compresso dell'armatura i-esima
  5. $b$ è la larghezza della piattabanda superiore
  6. $b_0$ è lo spessore dell'anima
  7. $t$ è lo spessore della piattabanda superiore

L'equazione può essere scritta nella forma

$$ \frac{1}{2} b_0 \, x^2 + \left[ (b - b_0) \cdot t + \alpha \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) \right] x - \left[ (b - b_0) \frac{t^2}{2} + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i \right] = 0$$

la cui soluzione è

$$x = \frac{- \left[ (b - b_0) \cdot t + \alpha \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) \right] + \sqrt{ \left[ (b - b_0) \cdot t + \alpha \left( \sum \limits_i \, A_{sl,i} \right) \right]^2 + 2 \, b_0 \, \left[ (b - b_0) \frac{t^2}{2} + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} d_i \right] }}{b_0}$$

Nota la posizione dell'asse neutro, calcoliamo il momento di inerzia della sezione omogeneizzata

$$ J_\alpha = \frac{1}{3} b_0 x^3 + \left[ \frac{1}{12} b \cdot t^3 + b \cdot t \cdot \left( x - \frac{t}{2} \right)^2 \right] + \alpha \sum \limits_i \, A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2$$

Per il calcolo delle tensioni usiamo le relazioni già viste al paragrafo rpecedente

$$\sigma_{c,max} = \frac{M}{ J_\alpha} x$$

$$\sigma_{s,i} = \alpha \frac{M}{ J_\alpha} \left( d_i - x \right)$$


tecnica_costruzioni/cls/ta_flessione.txt · Ultima modifica: 2014/06/30 18:48 da mickele

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