scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare
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scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare [2013/04/19 17:37] mickele [Funzione di fluage] |
scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare [2013/04/21 20:02] mickele |
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Linea 5: | Linea 5: | ||
L' | L' | ||
- | L' | + | L' |
- | Analizziamo | + | Analizziamo il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$. |
Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un' | Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un' | ||
Linea 36: | Linea 36: | ||
La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come //principio di sovrapposizione di McHenry//. | La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come //principio di sovrapposizione di McHenry//. | ||
- | ===== Funzione di fluage ===== | ||
- | Supponiamo la nostra storia | + | ===== Applicazione del principio |
- | $$ | + | Per meglio chiarire le implicazioni pratiche del principio |
- | \sigma_{x} (t) = | + | |
- | \begin{cases} | + | |
- | 0 & t < t_0\\\\ | + | |
- | \sigma_{x, | + | |
- | \end{cases} | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | $$\sigma_{y} = \sigma_{z} = \tau_{xy} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$$ | + | |
- | + | ||
- | Definiamo coefficente di fluage il valore assunto dalla deformazione viscosa per $t \ge t_0$ | + | |
- | + | ||
- | $$ | + | |
- | \varepsilon_{cc, | + | |
- | \sigma_{x, | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | in cui $E_c$ è il modulo di elasticità normale al tempo $t_0$. L'aver supposto una relazione lineare tra $\varepsilon_{cc, | + | |
- | + | ||
- | Sommando alla deformazione viscosa la deformazione elastica otteniamo | + | |
- | + | ||
- | $$ | + | |
- | \varepsilon_{x} (t) = | + | |
- | \sigma_{x, | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | Chiamiamo la grandezza | + | |
- | + | ||
- | $$J(t,t_0) = \frac{1+\varphi(t, | + | |
- | + | ||
- | funzione di fluage. | + | |
- | + | ||
- | Nel caso invece di una generica storia tensionale | + | |
- | + | ||
- | $$\sigma_x(t) = | + | |
- | \begin{cases} | + | |
- | 0 & t < t_0 \\\\ | + | |
- | \sigma_{x, | + | |
- | \sigma_{x, | + | |
- | \end{cases}$$ | + | |
- | + | ||
- | in cui | + | |
- | + | ||
- | $$\sigma_{x, | + | |
- | + | ||
- | l' | + | |
- | + | ||
- | $$\varepsilon_x(t, | + | |
- | + | ||
- | ===== Funzione di rilassamento ===== | + | |
- | + | ||
- | Supponiamo di sottoporre un provino alla seguente storia di deformazione | + | |
- | + | ||
- | $$ | + | |
- | \varepsilon_{x} (t) = | + | |
- | \begin{cases} | + | |
- | 0 & t < t_0\\\\ | + | |
- | \varepsilon_{x, | + | |
- | \end{cases} | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | Definiamo funzione di rilassamento il valore assunto dalla tensione per $t \ge t_0$ | + | |
- | + | ||
- | $$ | + | |
- | \sigma_{x} (t) = | + | |
- | \varepsilon_{x, | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | Anche in questo caso l'aver supposto una relazione lineare tra $\sigma_{x} (t)$ e $\varepsilon_{x, | + | |
- | + | ||
- | Nel caso di deformazioni imposte di tipo generico | + | |
- | + | ||
- | $$\varepsilon_x(t) = | + | |
- | \begin{cases} | + | |
- | 0 & t < t_0 \\\\ | + | |
- | \varepsilon_{x, | + | |
- | \varepsilon_{x, | + | |
- | \end{cases}$$ | + | |
- | + | ||
- | in cui | + | |
- | + | ||
- | $$\varepsilon_{x, | + | |
- | + | ||
- | L' | + | |
- | + | ||
- | $$\sigma_x(t, | + | |
- | + | ||
- | ===== Legame tra funzione di fluage e funzione di rilassamento ===== | + | |
- | + | ||
- | Supponendo nota la funzione di fluage $J(t,t_0)$, deriviamo da quest' | + | |
- | Per farlo sottoponinamo il nostro provino alla seguente storia di deformazione | + | |
- | + | ||
- | $$ | + | |
- | \varepsilon_{x} (t) = | + | |
- | \begin{cases} | + | |
- | 0 & t < t_0\\\\ | + | |
- | 1 & t \ge t_0\\\\ | + | |
- | \end{cases} | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | Secondo quanto visto sopra | + | |
- | + | ||
- | $$\varepsilon_x(t, | + | |
- | + | ||
- | La tensione $\sigma_{x}(t)$ è uguale alla funzione di rilassamento, | + | |
- | + | ||
- | $$1 = J(t,t_0) \, R(t_0,t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\partial R(t, | + | |
- | + | ||
- | Integrando la numericamente tale relazione riusciamo a derivare la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$. | + | |
- | + | ||
- | Analogamente possiamo derivare la funzione di fluage nota la funzione di rilassamento. Questa volta sottoponiamo il nostro materiale alla storia tensionale | + | |
- | + | ||
- | $$ | + | |
- | \sigma_{x} (t) = | + | |
- | \begin{cases} | + | |
- | 0 & t < t_0\\\\ | + | |
- | 1 & t \ge t_0\\\\ | + | |
- | \end{cases} | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | La deformazione al tempo $t$ sarà pari alla funzione di fluage, allora possiamo scrivere la relazione | + | |
- | + | ||
- | $$1 = R(t,t_0) J(t, t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\partial J(t, | + | |
- | + | ||
- | che integrata numericamente ci permette | + | |
- | Le due relazioni differenziali trovate sono chiamate integrali di Volterra. | + | Definiamo una storia tensionale in cui al tempo $t_1$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_1$. Supponiamo nota l' |
- | ===== Teorema dell' | + | {{svg> |
- | Il teorema dell'isomorfismo afferma che: | + | Analogamente definiamo una seconda storia tensionale in cui al tempo $t_2$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_2$. Chiameremo $\varepsilon_2 (t)$ l'evoluzione dello stato deformativo associata. |
- | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica lo stato di deformazione, | + | {{svg>scienza_costruzioni: |
- | Supponiamo che il nostro corpo viscoelastico sia soggetto a deformazioni impresse | + | Sommando le due storie tensionali, la deformazione corrispondente sarà ottenuta dalla somma $\varepsilon_1 (t) + \varepsilon_2 (t)$ |
- | $$\varepsilon_{tot,A} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el, | + | {{svg> |
- | Alle deformazioni elastiche | + | Considerando |
- | Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el, | + | La corrispondente deformazione sarà data da |
- | Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono non congurenti e incompatibili, | + | {{svg> |
- | $$\varepsilon_{tot, | + | ===== Il calcestruzzo: |
- | Dimostrata quindi la validità della soluzione trovata, il teorema | + | Analizzando un provino in calcestruzzo non soggetto ad alcuna forza esterna, registriamo la presenza |
- | Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el,B} = - k \, \varepsilon_{el,A}$, allora $\sigma_{B} = - k \, \sigma_{A}$. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti avremo pertanto | + | {{svg> |
- | $$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$ | + | Per far emergere il comportamento viscoelastico del calcestruzzo è quindi necessario dedurre la deformazione dovuta al ritiro |
- | che dimostra l' | + | Sottoponiamo il nostro provino in calcestruzzo ad una variazione |
- | Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell' | + | Per $t < t_0$ registriamo la sola deformazione dovuta al ritiro. |
- | > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | + | Per $t = t_0$ registriamo una deformazione |
- | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene | + | A differenziare |
- | ===== Corollario del teorema dell' | + | $$\varepsilon (t) = \varepsilon_{cs} |
- | Un corollario | + | Il termine $\varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t)$ è la deformazione viscoelastica |
- | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione | + | All' |
- | Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio | + | Così come per $t > t_0$ abbiamo registrato |
- | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema | + | Riassumiamo il percorso |
- | ===== Principio | + | |
- | Il principio di acquisizione dei vincoli posticipati afferma che: | + | {{svg> |
- | > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_1$, successivo al tempo $t_0$ di applicazione del carico, viene aggiunto un vincolo (interno od esterno), lo stato di tensione precedente all' |
scienza_costruzioni/solido_viscoelastico_lineare.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)