L'ipotesi di comportamento elastico lineare presuppone una relazione lineare costante nel tempo tra le tensioni applicate al solido e le relative deformazioni. Nelle realtà invece non solo la legge costitutiva non è di tipo lineare, ma non è neanche costante nel tempo.

L'ipotesi viscoelastica lineare si approccia a tali evidenze sperimentali prevedendo comunque una relazione di tipo lineare tra tensioni e deformazioni, ma con coefficienti variabili nel tempo. Tale ipotesi ha riscontro applicativo per deformazioni all'interno di un range contenute di tensioni/deformazioni.

Analizziamo in prima battuta il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$.

Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un'altra funzione) del tipo

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma} \right)$$

L'ipotesi viscoelastica lineare suppone che il funzionale $\mathbb{J}$ gode della proprietà di linearità. Date quindi due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ e due valori reali $a$ e $b$, deve essere verificata la condizione

$$ \mathbb{J} \left( a \, \boldsymbol{\sigma}_{1} + b \, \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) = a \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right) + b \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) $$

Notiamo che, per motivi fisici, il valore assunto dalla funzione $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$ al tempo $t_0$ dipende dai valori che la storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$ assume nel solo intervallo $(-\infty, t_0)$. Pertanto se due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ sono uguali per $t < t_0$, anche le corrispondenti deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right)$ e $\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right)$ saranno uguali per $t < t_0$.

Analogamente a quanto visto sopra, supponendo come variabile indipendente la storia delle deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$, possiamo definire un funzionale $\mathbb{R}$ che ci permette di conoscere la legge di variazione nel tempo delle tensioni $\boldsymbol{\sigma}(t)$

$$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)$$

Anche per la funzione $\mathbb{R}$ l'ipotesi di comportamento viscoelastico lineare comporta

$$ \mathbb{R} \left( a \, \boldsymbol{\varepsilon}_{1} + b \, \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) = a \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{1} \right) + b \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) $$

La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come principio di sovrapposizione di McHenry.

Supponiamo la nostra storia di carico sia costituita da una funzione a gradino

$$ \sigma_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ \sigma_{x,0} & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

$$\sigma_{y} = \sigma_{z} = \tau_{xy} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$$

Definiamo coefficente di fluage il valore assunto dalla deformazione viscosa per $t \ge t_0$

$$ \varepsilon_{cc,x} (t) = \sigma_{x,0} \frac{\varphi(t,t_0)}{E_c} $$

in cui $E_c$ è il modulo di elasticità normale al tempo $t_0$. L'aver supposto una relazione lineare tra $\varepsilon_{cc,x} (t)$ e $\sigma_{x,0}$ è una diretta conseguenza dell'ipotesi viscoelastica lineare.

Sommando alla deformazione viscosa la deformazione elastica otteniamo

$$ \varepsilon_{x} (t) = \sigma_{x,0} \frac{1+\varphi(t,t_0)}{E_c(t_0)} $$

Chiamiamo la grandezza

$$J(t,t_0) = \frac{1+\varphi(t,t_0)}{E_c(t_0)}$$

funzione di fluage.

Nel caso invece di una generica storia tensionale

$$\sigma_x(t) = \begin{cases} 0 & t < t_0 \\\\ \sigma_{x,0} & t = t_0 \\\\ \sigma_{x,0} + \sigma_{x,1}(t)& t > t_0 \\\\ \end{cases}$$

in cui

$$\sigma_{x,1}(t_0) = 0$$

l'ipotesi viscoelastica lineare ci permette di scrivere

$$\varepsilon_x(t,t_0) = J(t,t_0) \sigma_{x,0} + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \sigma_{x,1}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$

Supponiamo di sottoporre un provino alla seguente storia di deformazione

$$ \varepsilon_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ \varepsilon_{x,0} & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

Definiamo funzione di rilassamento il valore assunto dalla tensione per $t \ge t_0$

$$ \sigma_{x} (t) = \varepsilon_{x,0} R(t,t_0) $$

Anche in questo caso l'aver supposto una relazione lineare tra $\sigma_{x} (t)$ e $\varepsilon_{x,0}$ è una diretta conseguenza dell'ipotesi viscoelastica lineare.

Nel caso di deformazioni imposte di tipo generico

$$\varepsilon_x(t) = \begin{cases} 0 & t < t_0 \\\\ \varepsilon_{x,0} & t = t_0 \\\\ \varepsilon_{x,0} + \varepsilon_{x,1}(t)& t > t_0 \\\\ \end{cases}$$

in cui

$$\varepsilon_{x,1}(t_0) = 0$$

L'ipotesi viscoelastica lineare ci permette di scrivere

$$\sigma_x(t,t_0) = R(t,t_0) \varepsilon_{x,0} + \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \varepsilon_{x,1}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$

Supponendo nota la funzione di fluage $J(t,t_0)$, deriviamo da quest'ultima la funzione di rilassamento. Per farlo sottoponinamo il nostro provino alla seguente storia di deformazione

$$ \varepsilon_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ 1 & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

Secondo quanto visto sopra

$$\varepsilon_x(t,t_0) = 1 = J(t,t_0) \, \sigma_{x} (t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\mathrm{d} \sigma_{x}}{\mathrm{d} t} \, \mathrm{d}t$$

La tensione $\sigma_{x}(t)$ è uguale alla funzione di rilassamento, quindi possiamo scrivere

$$1 = J(t,t_0) \, R(t_0,t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\partial R(t,t_0)}{\partial t} \, \mathrm{d}t$$

Integrando la numericamente tale relazione riusciamo a derivare la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$.

Analogamente possiamo derivare la funzione di fluage nota la funzione di rilassamento. Questa volta sottoponiamo il nostro materiale alla storia tensionale

$$ \sigma_{x} (t) = \begin{cases} 0 & t < t_0\\\\ 1 & t \ge t_0\\\\ \end{cases} $$

La deformazione al tempo $t$ sarà pari alla funzione di fluage, allora possiamo scrivere la relazione

$$1 = R(t,t_0) J(t, t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\partial J(t,t_0)}{\partial t} \, \mathrm{d}t$$

che integrata numericamente ci permette di trovare la funzione $J(t,t_0)$ cercata.

Le due relazioni differenziali trovate sono chiamate integrali di Volterra.

Il teorema dell'isomorfismo afferma che:

L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica lo stato di deformazione, mentre lo stato di tensione varia in similitudine a se stesso.

Supponiamo che il nostro corpo viscoelastico sia soggetto a deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_A$. Come conseguenza nasceranno nel corpo deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$, di modo che le deformazioni totali siano date da

$$\varepsilon_{tot,A} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$$

Alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ saranno associate delle tensioni $\sigma_A$.

Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el,A}$, simili alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ viste prima. Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono dette isomorfe.

Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono non congurenti e incompatibili, pertanto determineranno delle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,B}$. Supponiamo che queste siano uguali ed opposte ad $\bar{\varepsilon}_B$. Per dimostrare la correttezza di tale supposizione verifichiamo che determinano una deformazione totale congruente e compatibile

$$\varepsilon_{tot,A+B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A} + \bar{\varepsilon}_{B} + \varepsilon_{el,B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A} = \varepsilon_{tot,A}$$

Dimostrata quindi la validità della soluzione trovata, il teorema di Kirchoff ce ne assicura l'unicità.

Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el,B} = - k \, \varepsilon_{el,A}$, allora $\sigma_{B} = - k \, \sigma_{A}$. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti avremo pertanto

$$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$

che dimostra l'assunto di partenza.

Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell'isomorfismo appena visto arrivando pertanto a definire il secondo principio della viscoelasticità lineare:

In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, lo stato di deformazione al tempo $t_0$ rimane costante, lo stato di tensione iniziale decresce secondo la funzione di rilassamento $R(t,t_0)$.

Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe un sistema di deformazioni la cui evoluzione nel tempo ci viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare che vedremo di seguito.

Un corollario del teorema dell'isomorfismo afferma che:

L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione, mentre lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso.

Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare:

In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, mentre lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$.

Il principio di acquisizione dei vincoli posticipati afferma che:

In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_1$, successivo al tempo $t_0$ di applicazione del carico, viene aggiunto un vincolo (interno od esterno), lo stato di tensione precedente all'applicazione del vincolo si modifica avvicinandosi, a tempo infinito, a quello che sarebbe sorto nella struttura sottoposta allo stesso carico ma con il vincolo aggiunto fin dal tempo $t_0$.