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scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare

Il solido viscoelastico lineare

Legge costitutiva viscoelastico lineare

L'ipotesi di comportamento elastico lineare presuppone una relazione lineare costante nel tempo tra le tensioni applicate al solido e le relative deformazioni. Nelle realtà invece non solo la legge costitutiva non è di tipo lineare, ma non è neanche costante nel tempo.

L'ipotesi viscoelastica lineare si approccia a tali evidenze sperimentali prevedendo comunque una relazione di tipo lineare tra tensioni e deformazioni, ma con coefficienti variabili nel tempo. Tale ipotesi ha riscontro applicativo per deformazioni/tensioni contenute all'interno di un range ristretto di valori. Ad esempio l'eurocodice 2, per supporre valida l'ipotesi viscoelastica lineare, impone che la tensione nel calcestruzzo $\sigma_c$ sia minore di $0,45 f_{ck}$.

Analizziamo il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$.

Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un'altra funzione) del tipo

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma} \right)$$

L'ipotesi viscoelastica lineare suppone che il funzionale $\mathbb{J}$ gode della proprietà di linearità. Date quindi due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ e due valori reali $a$ e $b$, deve essere verificata la condizione

$$ \mathbb{J} \left( a \, \boldsymbol{\sigma}_{1} + b \, \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) = a \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right) + b \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) $$

Notiamo che, per motivi fisici, il valore assunto dalla funzione $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$ al tempo $t_0$ dipende dai valori che la storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$ assume nel solo intervallo $(-\infty, t_0)$. Pertanto se due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ sono uguali per $t < t_0$, anche le corrispondenti deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right)$ e $\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right)$ saranno uguali per $t < t_0$.

Analogamente a quanto visto sopra, supponendo come variabile indipendente la storia delle deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$, possiamo definire un funzionale $\mathbb{R}$ che ci permette di conoscere la legge di variazione nel tempo delle tensioni $\boldsymbol{\sigma}(t)$

$$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)$$

Anche per la funzione $\mathbb{R}$ l'ipotesi di comportamento viscoelastico lineare comporta

$$ \mathbb{R} \left( a \, \boldsymbol{\varepsilon}_{1} + b \, \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) = a \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{1} \right) + b \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) $$

La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come principio di sovrapposizione di McHenry.

Applicazione del principio di sovrapposizione

Per meglio chiarire le implicazioni pratiche del principio di sovrapposizione facciamo alcuni esempi concreti.

Definiamo una storia tensionale in cui al tempo $t_1$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_1$. Supponiamo nota l'evoluzione dello stato deformativo che chiameremo $\varepsilon_1 (t)$.


[email protected]_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_01.svg

Analogamente definiamo una seconda storia tensionale in cui al tempo $t_2$ applichiamo al solido una tensione $\Delta \sigma_2$. Chiameremo $\varepsilon_2 (t)$ l'evoluzione dello stato deformativo associata.


[email protected]_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_02.svg

Sommando le due storie tensionali, la deformazione corrispondente sarà ottenuta dalla somma $\varepsilon_1 (t) + \varepsilon_2 (t)$


[email protected]_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_03.svg

Considerando $\Delta \sigma_1 = \Delta \sigma_2 = \Delta \sigma$, avremo due deformazioni $\varepsilon_1 (t)$ e $\varepsilon_2 (t)$. Considerando un terzo processo di carico in cui altempo $t_2$ applichiamo la tensione $\Delta \sigma_3 = - \Delta \sigma$. Per l'ipotesi viscoelastica lineare avremo una deformazione $\varepsilon_3 (t) = - \varepsilon_2 (t)$. Sovrapponendo la prima e la terza storia tensionale otteniamo un processo di carico in cui al tempo $t_1$ carichiamo il solido con la tensione $\Delta \sigma$ e al tempo $t_2$ lo scarichiamo.

La corrispondente deformazione sarà data da


[email protected]_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare_04.svg

Il calcestruzzo: un materiale viscoelastico

Analizzando un provino in calcestruzzo non soggetto ad alcuna forza esterna, registriamo la presenza di deformazioni dovuto al ritiro.


[email protected]_costruzioni:calcestruzzo_viscoelastico_02.svg

Per far emergere il comportamento viscoelastico del calcestruzzo è quindi necessario dedurre la deformazione dovuta al ritiro $\varepsilon_{cs}(t)$.

Sottoponiamo il nostro provino in calcestruzzo ad una variazione di tensione $\Delta \sigma$ compresa tra gli istanti di tempo $t_0$ e $t_1$.

Per $t < t_0$ registriamo la sola deformazione dovuta al ritiro.

Per $t = t_0$ registriamo una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$ che rientrerebbe all'interno della teoria del solido elastico.

A differenziare il comportamento del solido viscoelastico è la presenza, per $t > t_0$, di un'evoluzione della deformazione esprimibile nella forma

$$\varepsilon (t) = \varepsilon_{cs} (t) + \varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t) $$

Il termine $\varepsilon_{ci} (t_0) + \varepsilon_{cc} (t)$ è la deformazione viscoelastica del calcestruzzo in cui abbiamo separato la deformazione istantanea $\varepsilon_{ci} (t_0)$ dall'evoluzione temporale $\varepsilon_{cc} (t)$ che chiameremo deformazione di fluage.

All'istante $t_1$ scarichiamo il provino registrando una deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_1)$ che sarà in modulo minore della deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_0)$ a causa della maturazione del calcestruzzo e del conseguente aumento del modulo di elasticità normale.

Così come per $t > t_0$ abbiamo registrato un'evoluzione della deformazione successiva all'applicazione del carico, per $t > t_1$ registreremo un'ulteriore evoluzione temporale della deformazione successiva alla deformazione istantanea $\varepsilon_{ci}(t_1)$.

Riassumiamo il percorso di carico appena descritto con i seguenti due diagrammi riassuntivi dell'evoluzione dello stato di deformazione e di tensione del provino analizzato


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scienza_costruzioni/solido_viscoelastico_lineare.txt · Ultima modifica: 2013/04/21 20:02 da mickele

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