Il teorema dell'isomorfismo afferma che:

L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica lo stato di deformazione. Lo stato di tensione varia rimanendo simile a se stesso.

Supponiamo che il nostro corpo viscoelastico sia soggetto a deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_A$. Come conseguenza nasceranno nel corpo deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$, di modo che le deformazioni totali siano date da

$$\varepsilon_{tot,A} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$$

Alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ saranno associate delle tensioni $\sigma_A$.

Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el,A}$, simili alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ viste prima. Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono dette isomorfe rispetto alle deformazioni $\varepsilon_{el,A}$.

Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono incongruenti (non rispettano le equazioni di congruenza) e incompatibili (non rispettano i vincoli esterni), pertanto determineranno delle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,B}$.

Supponiamo che queste siano uguali ed opposte alle $\bar{\varepsilon}_B$. Per dimostrare la correttezza di tale supposizione verifichiamo che determinano una deformazione totale congruente e compatibile. Infatti

$$\varepsilon_{tot,A+B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A} + \bar{\varepsilon}_{B} + \varepsilon_{el,B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$$

e sappiamo per ipotesi che $\bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$ sono congruenti e compatibili.

Dimostrata quindi l'accettabilità della soluzione trovata, il teorema di Kirchoff ce ne assicura l'unicità.

Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el,B} = - k \, \varepsilon_{el,A}$, allora $\sigma_{B} = - k \, \sigma_{A}$. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti avremo pertanto

$$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$

che è uno stato di tensione simile a $\sigma_{A}$.

Abbiamo così dimostrato l'assunto di partenza.

Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell'isomorfismo appena visto arrivando a definire il secondo principio della viscoelasticità lineare:

In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, lo stato di deformazione rimane costante, lo stato di tensione iniziale decresce secondo la funzione di rilassamento $R(t,t_0)$.

Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe un sistema di deformazioni la cui evoluzione nel tempo ci viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare che vedremo di seguito.

L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso.

Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare:

In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, mentre lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$.

Il principio di acquisizione dei vincoli posticipati afferma che:

In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_1$, successivo al tempo $t_0$ di applicazione del carico, viene aggiunto un vincolo (interno od esterno), lo stato di tensione precedente all'applicazione del vincolo si modifica avvicinandosi, a tempo infinito, a quello che sarebbe sorto nella struttura sottoposta allo stesso carico ma con il vincolo aggiunto fin dal tempo $t_0$.

Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell'isomorfismo ci dice che le reazioni vincolari $X_i$ saranno costanti nel tempo.

Al tempo $t_1$ applichiamo il vincolo n+1. All'applicazione del vincolo $n+1$ nel punto avremo uno spostamento $\bar{\eta}_{n+1}$. L'applicazione di tale vincolo per $t > t_1$ non ci permette più di poter applicare il teorema dell'isomorfismo: ci aspettiamo quindi che lo stato tensionale iniziale cambi.

Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi:

• un sistema (a) in cui imponiamo sulla struttura scarica uno spostamento imposto $\bar{\eta}_{n+1}$;
• un sistema (b) in cui il vincolo n+1 è applicato fin dall'istante $t_0$.

Lo stato tensionale del sistema (a), per il 1° principio della viscoelasticità lineare, tende ad annullarsi per $t \rightarrow \infty$; lo stato tensionale del sistema (b), per il 2° principio della viscoelasticità lineare, è invece costante. Sovrapponendo i due sistemi avremo che per $t \rightarrow \infty$ il corpo tenderà allo stato tensionale del sistema (b).

Volendo procedere ad un'analisi quantitativa, indichiamo con $\bar{X}_i$ ($i=1... n+1$) le reazioni vincolari tra il tempo $t_0$ ed il tempo $t_1$, prima dell'applicazione del vincolo posticipato. Da quanto detto sopra deduciamo che tali quantità, nell'arco temporaneo indicato, sono costanti. Inoltre, non avendo applicato il vincolo $n+1$, $\bar{X}_{n+1} = 0$.

Indichiamo invece con $X_i^{(b)} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$ le reazioni vincolari del sistema (b), in cui quindi $\Delta \bar{X}_i$ è pari alla differenza $X_i^{(b)} - \bar{X}_i$.

Indichiamo infine con $X_i(t)$ le reazioni vincolari effettive a partire dal tempo $t_1$.