Il wiki di IngegneriaLibera

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====== I principi della viscoelasticità lienare ======


===== Teorema dell'isomorfismo (2° principio della viscoelasticità lineare) =====

Il teorema dell'isomorfismo afferma che:

> L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica lo stato di deformazione. Lo stato di tensione varia rimanendo simile a se stesso.

Supponiamo che il nostro corpo viscoelastico sia soggetto a deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_A$. Come conseguenza nasceranno nel corpo deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$, di modo che le deformazioni totali siano date da

$$\varepsilon_{tot,A} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$$

Alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ saranno associate delle tensioni $\sigma_A$.

Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el,A}$, simili alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,A}$ viste prima. Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono dette isomorfe rispetto alle deformazioni $\varepsilon_{el,A}$. 

Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono incongruenti (non rispettano le equazioni di congruenza) e incompatibili (non rispettano i vincoli esterni), pertanto determineranno delle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el,B}$. 

Supponiamo che queste siano uguali ed opposte alle $\bar{\varepsilon}_B$. Per dimostrare la correttezza di tale supposizione verifichiamo che determinano una deformazione totale congruente e compatibile. Infatti

$$\varepsilon_{tot,A+B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A} + \bar{\varepsilon}_{B} + \varepsilon_{el,B} = \bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$$

e sappiamo per ipotesi che $\bar{\varepsilon}_A + \varepsilon_{el,A}$ sono congruenti e compatibili.

Dimostrata quindi l'accettabilità della soluzione trovata, il teorema di Kirchoff ce ne assicura l'unicità. 

Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el,B} = - k \, \varepsilon_{el,A}$, allora $\sigma_{B} = - k \, \sigma_{A}$. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti avremo pertanto

$$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$

che è uno stato di tensione simile a $\sigma_{A}$.

Abbiamo così dimostrato l'assunto di partenza.

Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell'isomorfismo appena visto arrivando a definire il secondo principio della viscoelasticità lineare:

> In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, lo stato di deformazione rimane costante, lo stato di tensione iniziale decresce secondo la funzione di rilassamento $R(t,t_0)$.

Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe deformazioni la cui evoluzione nel tempo viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare, che vedremo a breve.

===== Corollario del teorema dell'isomorfismo (1°principio della viscoelasticità lineare) =====

> L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad un sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione invece cambia restando simile a se stesso.

L'applicazione del sistema di forze determina nel solido uno stato tensionale $\boldsymbol{\sigma}_A$ cui è associato uno stato deformativo elastico $\boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$ congruente e compatibile con i vincoli. 

Applicare sul medesimo solido uno stato deformativo impresso $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_B = k \; \boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$, proporzionale a $\boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$ e quindi congruente e compatibile con i vincoli. In quanto tale lo stato tensionale associato al sistema B è nullo 

$$\boldsymbol{\sigma}_B = \boldsymbol{0}$$ 

Sommando i due sistemi A e B, lo stato deformativo complessivo sarà 

$$\boldsymbol{\varepsilon}_{A+B} = \boldsymbol{\varepsilon}_{el,A} + \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_B = \left( 1 + k \right) \boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$$

Lo stato tensionale invece sarà pari a 

$$\boldsymbol{\sigma}_{A+B} = \boldsymbol{\sigma}_A + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\sigma}_A$$

Il teoremo di Kirchoff ci garantisce che la soluzione appena trovata è unica.

In un corpo viscoelastico lineare omogeneo le deformazioni di fluage sono simili alle deformazioni elastiche iniziali. Applicando il corollario appena visto otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare:

> In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$.

===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) =====

Il principio di acquisizione dei vincoli posticipati afferma che:

> In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_1$, successivo al tempo $t_0$ di applicazione del carico, viene aggiunto un vincolo (interno od esterno), lo stato di tensione precedente all'applicazione del vincolo si modifica avvicinandosi, a tempo infinito, a quello che sarebbe sorto nella struttura sottoposta allo stesso carico ma con il vincolo aggiunto fin dal tempo $t_0$.

Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell'isomorfismo ci dice che le reazioni vincolari $X_i$ saranno costanti nel tempo.

Al tempo $t_1$ applichiamo il vincolo n+1. All'applicazione del vincolo $n+1$ nel punto avremo uno spostamento $\bar{\eta}_{n+1}$. L'applicazione di tale vincolo per $t > t_1$ non ci permette più di poter applicare il teorema dell'isomorfismo: ci aspettiamo quindi che lo stato tensionale iniziale cambi. 

Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi:
  * un sistema $A$ in cui imponiamo sulla struttura scarica uno spostamento imposto $\bar{\eta}_{n+1}$;
  * un sistema $B$ in cui il vincolo n+1 è applicato fin dall'istante $t_0$.

Lo stato tensionale del sistema $A$, per il 1° principio della viscoelasticità lineare, tende ad annullarsi per $t \rightarrow \infty$; lo stato tensionale del sistema $B$, per il 2° principio della viscoelasticità lineare, è invece costante. Sovrapponendo i due sistemi avremo che per $t \rightarrow \infty$ il corpo tenderà allo stato tensionale del sistema $B$.

Volendo procedere ad un'analisi quantitativa, indichiamo con $X_{post,i} (t)$ le reazioni vincolari del sistema a vincoli posticipati che stiamo analizzando. Indichiamo con $\bar{X}_i$ le reazioni vincolari costanti nell'intervallo di tempo $\bar{X}_i$ $t_0 < t_1$. E' possibile determinare i valori di $\bar{X}_i$ risolvendo la struttura priva del vincolo $n+1$ con l'analisi elastica lineare. Non avendo applicato il vincolo $n+1$, la relativa reazione vincolare sarà nulla ($\bar{X}_{n+1} = 0$).

Indichiamo invece con $X_{B,i}$ le reazioni vincolari costanti del sistema $B$. Anche in questo caso è abbastanza agevole determinare i valori di $X_{B,i}$ risolvendo la struttura sotto le ipotesi elastico lineari considerando il vincolo $n+1$ find all'istante iniziale. Definiamo inoltre le quantità $\Delta \bar{X}_i$ di modo che

$$X_{B,i} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow \Delta \bar{X}_i = X_{B,i} - \bar{X}_i$$

Indichiamo infine con $X_{A,i} (t)$ le reazioni vincolari del sistema $A$. Dal 1° principio della viscoelasticità lineare sappiamo che tale funzione sarà proporzionale al valore della funzione di rilassamento del materiale $R\left(t_1, t\right)$.

All'istante $t_1$, poiché la viscoelasticità non ha ancora determinato deformazioni tali da far lavorare il vincolo $n+1$, abbiamo che

$$X_{post,i} (t_1) = \bar{X}_i$$

D'altronde, per come abbiamo definito i sistemi $A$ e $B$,

$$ X_{post,i} (t_1) = X_{A,i} (t_1) + X_{B,i} (t_1)$$

Sostituendo la prima nella seconda

$$ \bar{X}_i = X_{A,i} (t_1) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i  \Longrightarrow X_{A,i} (t_1) = - \Delta \bar{X}_i$$

Noto il valore di $X_{A,i} (t)$ al tempo $t_1$, applicando il 1° principio della viscoelasticità lineare, determiniamo $X_{A,i} (t)$ che sarà quindi pari a

$$X_{A,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right)$$

La reazione del sistema a vincoli posticipati per $t > t_1$ sarà allora data dalla relazione

$$ X_{post,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow X_{post,i} (t_1) = \left[ 1 - R \left( t_1, t \right) \right] \Delta \bar{X}_i + \bar{X}_i $$

Notiamo che per $t \longrightarrow + \infty$, $R \left( t_1, t \right) \longrightarrow 0$, e quindi $ X_{post,i} (t) \longrightarrow \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$, si verifica cioé che la reazione vincolare del sistema a vincolo posticipato tende alla reazione vincolare del sistema $B$ in cui il vincolo è presente fin dall'istante iniziale.
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