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mickele [Area di una sezione]
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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Geometria delle aree ======
-=====Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale=====
-Sia $\mathbf{r}$ il vettore posizione di un punto $P$ di una figura geometrica. Il vettore $\mathbf{r}$ è definito
-$$\mathbf{r} = \left( \begin{matrix}
-y \\\\
-z
-\end{matrix} \right)$$
-Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, il vettore posizione $\mathbf{r^\prime}$ nel nuovo sistema di riferimento sarà dato da
-$$ \mathbf{r^\prime} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} =
-\left( \begin{matrix}
-y \\\\
-z \end{matrix} \right) -
-\left( \begin{matrix}
-y_0 \\\\
-z_0 \end{matrix} \right)$$
-Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo <m>theta</m>, con analoga notazione abbiamo
-$$ \mathbf{r^\ast} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$
-in cui
-$$ \mathbf{N} =
-\begin{bmatrix}
-\cos \theta & \sin \theta \\\\
-- \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$
-è chiamata matrice di rotazione.
-=====Area di una sezione=====
-Definiamo area di una porzione del piano $S$ l'integrale doppio della funzione unitaria
-$$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$
-=====Momenti statici di una sezione=====
-Definiamo il vettore dei momenti statici di una sezione come segue
-$$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix}
-S_z \\\\
-S_y \end{matrix} \right) =
-\iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\left( \begin{matrix}
-\iint\limits_S y \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \\\\
-\iint\limits_S z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{matrix} \right)$$
-Traslando il sistema di riferimento, otteniamo
-$$ \mathbf{s^\prime} = \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$
-Nel punto individuato dal vettore posizione
-$$\mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$
-il vettore dei momenti statici si annulla. Tale punto è detto baricentro.
-Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece
-$$\mathbf{s^\ast} = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\mathbf{N} \, \mathbf{s}$$
-=====Momenti di inerzia di una sezione=====
-Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione come segue
-$$\mathbf{I} =
-\begin{bmatrix} I_{zz} & I_{yz}\\\\
-I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} =
-\iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\\\
-\iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$
-in cui l'operazione
-$$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T =
-\begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$
-è detta prodotto diadico. Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, ma gode della proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale.
-Traslando il sistema di riferimento, otteniamo
-$$\mathbf{I^\prime} =
-\iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \otimes \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z -
-\iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \otimes \mathbf{r_0} -
-\mathbf{r_0} \otimes \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z +
-\mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =$$
-e infine
-$$\mathbf{I^\prime} =
-\mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$
-In forma esplicita otteniamo
-$$I_{zz}^\prime =
-I_{zz} - 2 \, y_0  \, S_{z} + A \, y_0^2$$
-$$I_{yy}^\prime =
-I_{yy} - 2 \, z_0  \, S_{y} + A \, z_0^2$$
-$$I_{yz}^\prime =
-I_{yz} - y_0  \, S_{y} - z_0  \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$
-Se il sistema di riferimento di partenza è baricentrico, quest'ultima relazione diventa
-$$\mathbf{I^\prime} =
-\mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$
-usualmente denominata legge di Huzgens.
-Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece
-$$ I^\ast = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \otimes \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$
-Dalla definizione di prodotto diadico sopra riportato otteniamo facilmente che
-$$(\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) = \mathbf{N} ( \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \mathbf{N^T}$$
-e quindi la relazione precedente diventa
-$$ I^\ast = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$
-Esplicitando le relazioni otteniamo
-$$I_{yy}^\ast = I_{yy} \cos ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$
-$$I_{zz}^\ast = I_{yy} \sin ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$
-$$I_{yz}^\ast = \left( I_{zz} - I_{yy} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{zz} - I_{yy}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$
-E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, e quindi $\theta$, in maniera da annullare il momento di inerzia centrifugo $I_{zz}$, trasformando la matrice dei momenti di inerzia $I^\ast$ in una matrice diagonale.
-Imponendo questa condizione otteniamo
-$$\theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$
-Il sistema di riferimento così individuato è detto principale di inerzia ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia.
-Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, è definito centrale di inerzia, ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti centrali di inerzia.
-===== Formule applicative =====
-Si rimanda alla pagina [[Scienza costruzioni:Geometria delle aree formule|formule applicative]] per esempi esplicativi di quanto appena visto.

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