Strumenti Utente



scienza_costruzioni:geometria_delle_aree

Questa è una vecchia versione del documento!


Geometria delle aree

Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale

Sia $\mathbf{r}$ il vettore posizione di un punto $P$ di una figura geometrica. Il vettore $\mathbf{r}$ è definito

$$\mathbf{r} = \left( \begin{matrix} y \\\\ z \end{matrix} \right)$$

Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, il vettore posizione $\mathbf{r^\prime}$ nel nuovo sistema di riferimento sarà dato da

$$ \mathbf{r^\prime} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} = \left( \begin{matrix} y \\\\ z \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} y_0 \\\\ z_0 \end{matrix} \right)$$

Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo <m>theta</m>, con analoga notazione abbiamo

$$ \mathbf{r^\ast} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$

in cui

$$ \mathbf{N} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\\\ - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$

è chiamata matrice di rotazione.

Area di una sezione

Definiamo area di una porzione del piano $S$ l'integrale doppio della funzione unitaria

$$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

Momenti statici di una sezione

Definiamo il vettore dei momenti statici di una sezione come segue

$$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix} S_z \\\\ S_y \end{matrix} \right) = \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \left( \begin{matrix} \iint\limits_S y \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \\\\ \iint\limits_S z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{matrix} \right)$$

Traslando il sistema di riferimento, otteniamo

$$ \mathbf{s^\prime} = \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$

Nel punto individuato dal vettore posizione

$$\mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$

il vettore dei momenti statici si annulla. Tale punto è detto baricentro.

Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece

$$\mathbf{s^\ast} = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{N} \, \mathbf{s}$$

Momenti di inerzia di una sezione

Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione come segue

$$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{zz} & I_{yz}\\\\ I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} = \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\\\ \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$

in cui l'operazione

$$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T = \begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$

è detta prodotto diadico. Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, ma gode della proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale.

Traslando il sistema di riferimento, otteniamo

$$\mathbf{I^\prime} = \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \otimes \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z + \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =$$

e infine

$$\mathbf{I^\prime} = \mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$

In forma esplicita otteniamo

$$I_{zz}^\prime = I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$

$$I_{yy}^\prime = I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$

$$I_{yz}^\prime = I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$

Se il sistema di riferimento di partenza è baricentrico, quest'ultima relazione diventa

$$\mathbf{I^\prime} = \mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$

usualmente denominata legge di Huzgens.

Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece

$$ I^\ast = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \otimes \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

Dalla definizione di prodotto diadico sopra riportato otteniamo facilmente che

$$(\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) = \mathbf{N} ( \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \mathbf{N^T}$$

e quindi la relazione precedente diventa

$$ I^\ast = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$

Esplicitando le relazioni otteniamo

$$I_{yy}^\ast = I_{yy} \cos ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$ $$I_{zz}^\ast = I_{yy} \sin ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$ $$I_{yz}^\ast = \left( I_{zz} - I_{yy} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{zz} - I_{yy}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$

E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, e quindi $\theta$, in maniera da annullare il momento di inerzia centrifugo $I_{zz}$, trasformando la matrice dei momenti di inerzia $I^\ast$ in una matrice diagonale.

Imponendo questa condizione otteniamo

$$\theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$

Il sistema di riferimento così individuato è detto principale di inerzia ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia.

Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, è definito centrale di inerzia, ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti centrali di inerzia.

Formule applicative

Si rimanda alla pagina formule applicative per esempi esplicativi di quanto appena visto.


scienza_costruzioni/geometria_delle_aree.1362819543.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

Facebook Twitter Google+ Digg Reddit LinkedIn StumbleUpon Email