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scienza_costruzioni:geometria_delle_aree

Geometria delle aree

La geometria delle aree non è un argomento di per sé correlato con la teoria dell'elasticità se non per il fatto che essa trova applicazione nell'analisi di alcuni tipi di solidi elastici. In particolare analizzando il solido elastico lineare sotto l'ipotesi di conservazione delle sezioni piane le formule di seguito riportate troveranno applicazione pratica.

Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale

Sia $\mathbf{r}$ il vettore posizione di un punto $P$ di una figura geometrica. Il vettore $\mathbf{r}$ è definito

$$\mathbf{r} = \left( \begin{matrix} y \\\\ z \end{matrix} \right)$$

Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, il vettore posizione $\mathbf{r^\prime}$ nel nuovo sistema di riferimento sarà dato da

$$ \mathbf{r^\nearrow} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} = \left( \begin{matrix} y \\\\ z \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} y_0 \\\\ z_0 \end{matrix} \right)$$

Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo $\theta$, con analoga notazione abbiamo

$$\mathbf{r^\odot} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$

in cui

$$ \mathbf{N} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\\\ - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$

è chiamata matrice di rotazione.

Area di una sezione

Definiamo area di una porzione del piano $S$ l'integrale doppio della funzione unitaria

$$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

Momenti statici di una sezione

Definiamo il vettore dei momenti statici di una porzione di piano $S$ come segue

$$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix} S_z \\\\ S_y \end{matrix} \right) = \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \left( \begin{matrix} \iint\limits_S y \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \\\\ \iint\limits_S z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{matrix} \right)$$

Traslando il sistema di riferimento, otteniamo

$$ \mathbf{s^{\nearrow}} = \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$

In forma esplicita otteniamo

$$S_z^{\nearrow} = S_z - A \cdot y_0$$

$$S_y^{\nearrow} = S_y - A \cdot z_0$$

Da tale espressione vediamo che è possibile individuare un punto $G$ rispetto al quale si annulla il vettore dei momenti statici.

$$\mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0} = \mathbf{0} \Longrightarrow \mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$

Il punto $G$ individuato dal vettore $\mathbf{r_G}$ è detto baricentro.

Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece

$$\mathbf{s^{\odot}} = \iint\limits_S \mathbf{r^{\odot}} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{N} \, \mathbf{s}$$

In forma esplicita abbiamo le formule

$$S_{z}^{\odot} = S_z \cdot \cos \theta + S_y \cdot \sin \theta$$

$$S_{y}^{\odot} = - S_z \cdot \sin \theta + S_y \cdot \cos \theta $$

Momenti di inerzia di una sezione

Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione

$$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{zz} & I_{yz}\\\\ I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} = \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \left( r \right) \left( r \right)^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\ \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$

Notiamo che la matrice associata al tensore $\mathbf{I}$ è simmetrica.

Nella suddetta definizione è stata introdotta l'operazione di prodotto diadico

$$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left( r\right) \left( r\right )^T = \begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$

Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, ma gode della proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale:

  • è possibile individuare una coppia di vettori $\mathbf{r}$ $\mathbf{s}$ per i quali

$$\mathbf{r} \otimes \mathbf{s} \ne \mathbf{s} \otimes \mathbf{r}$$

  • per qualsiasi terna di vettori \mathbf{r}, \mathbf{s}, \mathbf{t}

$$\mathbf{r} \otimes \left( \mathbf{s} + \mathbf{t} \right) = \mathbf{r} \otimes \mathbf{s} + \mathbf{r} \otimes \mathbf{t}$$

$$\left( \mathbf{r} + \mathbf{s} \right) \otimes \mathbf{t} = \mathbf{r} \otimes \mathbf{t} + \mathbf{s} \otimes \mathbf{t}$$

Traslando il sistema di riferimento, otteniamo

$$\mathbf{I^\nearrow } = \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \otimes \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \\ \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) - \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) + \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \left( \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right)$$

relazione che può essere scritta nella forma più compatta

$$\mathbf{I^\nearrow} = \mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$

In forma esplicita otteniamo

$$I_{zz}^\nearrow = I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$

$$I_{yy}^\nearrow = I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$

$$I_{yz}^\nearrow = I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$

Se la traslazione avviene rispetto ad un sistema baricentrico ($\mathbf{s} = \mathbf{0}$), quest'ultima relazione si semplifica nella forma

$$\mathbf{I^\nearrow} = \mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$

usualmente denominata legge di Huygens.

Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece

$$ I^\odot = \iint\limits_S \mathbf{r^\odot} \otimes \mathbf{r^\odot} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

Dalla definizione di prodotto diadico sopra riportato otteniamo facilmente che

$$(\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) = \mathbf{N} ( \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \mathbf{N^T}$$

e quindi la relazione precedente diventa

$$ I^\odot = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$

Esplicitando le relazioni otteniamo

$$I_{yy}^\odot = I_{yy} \cos ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$ $$I_{zz}^\odot = I_{yy} \sin ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$ $$I_{yz}^\odot = \left( I_{yy} - I_{zz} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$

E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, e quindi $\theta$, in maniera da annullare il momento di inerzia centrifugo $I_{yz}$, trasformando la matrice dei momenti di inerzia $I^\odot$ in una matrice diagonale. Troveremoo così un sistema di riferimento individuato dai versori ortogonali $\mathbf{\eta}$ e $\mathbf{\zeta}$.

Imponendo l'annullamento del momento centrifugo otteniamo

$$\tan 2 \theta_{\eta} = \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}} \Longrightarrow \theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$

in cui $\theta_{\eta}$ è l'angolo tra il versore $\mathbf{\eta}$ del sistema di riferimento ruotato ed il versore delle $y$ nel sistema di riferimento di partenza.

Il sistema di riferimento $\mathbf{\eta} O \mathbf{\zeta}$ così individuato è detto principale di inerzia ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia. Andando a sostituire il valore di $\theta_{\eta}$ così calcolato nella relazione che permette di calcolare i momenti di inerzia in un sistema di riferimento ruotato, otteniamo

$$I_{\eta \eta} = I_{yy} \cos ^2 \theta_{\eta} - 2 I_{yz} \sin \theta_{\eta} \cos \theta_{\eta} + I_{zz} \sin ^2 \theta_{\eta}$$

che con semplici nozioni di trigonometria può essere riscritta nella forma

$$I_{\eta \eta} = I_{yy} \frac{1 + \cos 2 \theta_{\eta} }{2} - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta} + I_{zz} \frac{1 - \cos 2 \theta_{\eta} }{2} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta}$$

Ricorrendo alla relazione trovata per $\tan 2 \theta_{\eta}$, possiamo scrivere

$$I_{\eta \eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \tan 2 \theta_{\eta} \sin 2 \theta_{\eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}}$$

Poiché

$$\frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \tan^2 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \frac{4 I_{yz}^2}{\left( I_{zz} - I_{yy} \right)^2 } } $$

possiamo scrivere infine

$$I_{\eta\eta} = \begin{cases} \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} & I_{yy} \ge I_{zz}\\ \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} & I_{yy} < I_{zz} \end{cases}$$

Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, è chiamato centrale di inerzia, ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti centrali di inerzia.

Formule applicative

Si rimanda alla pagina formule applicative per esempi esplicativi di quanto appena visto.


scienza_costruzioni/geometria_delle_aree.txt · Ultima modifica: 2014/11/26 12:13 da mickele

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