Differenze

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mickele [Caso unidimensionale]
+++ qstruct:teoria:qsection:non_lineare_deformazioni_impresse [2021/06/13 13:10] (versione attuale)
@@ Linea 15: / Linea 15: @@
 $$ \varepsilon_0 = \overline \varepsilon_0 + \frac{F}{E \, A} $$
-Poiché in generale $ N( \varepsilon_0 ) $ sarà diverso da $F$, la differenza
+Poiché in generale $ N( \varepsilon_0 ) $ sarà diverso da $F$, valutiamo la differenza
-$$\Delta N_0 = E \, A \, \varepsilon_0 - F \ne 0 $$
+$$\Delta N_0 = F - N \left( \varepsilon_0 \right) $$
 Per far coincidere gli stati di deformazione e tensione tra il modello lineare e quello non lineare, introduciamo nel primo una deformazione impressa
-$$\Delta \overline \varepsilon_0 = \frac{ \Delta N_0 } {E A}$$
+$$\Delta \overline \varepsilon_1 = \frac{ \Delta N_0 } {E A}$$
 che sommata a $\overline \varepsilon_0$ ci dà
-$$ \overline \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_0 $$
+$$ \overline \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$
 Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_1$ otteniamo una deformazione
@@ Linea 33: / Linea 33: @@
 Anche in questo caso avremo in generale una differenza
-$$\Delta N_1 = E \, A \left( \varepsilon_1 - \overline \varepsilon_1 \right) - F \ne 0 $$
+$$\Delta N_1 = F - N \left( \varepsilon_1 \right) \ne 0 $$
 La deformazione impressa $ \overline \varepsilon_0$ dovrà essere pertanto aumentata della quantità
@@ Linea 41: / Linea 41: @@
 ottenendo la deformazione impressa complessiva
-$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1$
+$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$
 Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_2$ otteniamo una deformazione totale
@@ Linea 49: / Linea 49: @@
 Anche in questo caso avremo in generale una differenza
-$$\Delta N_2 = E \, A \left( \varepsilon_2 - \overline \varepsilon_2 \right) - F$$
+$$\Delta N_2 = F - N \left( \varepsilon_2 \right) $$
-Per la seconda volta la deformazione impressa complessiva dovrà essere nuovamente della quantità
+La deformazione impressa complessiva dovrà essere aumentata della quantità
 $$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$
@@ Linea 59: / Linea 59: @@
 $$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_1 + \Delta \overline \varepsilon_2$$
-Si procede iterativamente fintantoché la differenza $\Delta N_i$ non diventa trascurabile rispetto alla capacità resistente della sezione.
+Si procede iterativamente fintantoché la differenza $\Delta N_i$ non si annulli o in generale diventi trascurabile rispetto alla capacità resistente della sezione.
+===== Caso generale =====
+In generale la relazione tra caratteristiche di sollecitazione e parametri di deformazione della sezione è
+$$ \left(  \begin{matrix}
+N \\\\ M_{y} \\\\M_{z}
+\end{matrix} \right) =
+\left( \begin{matrix}
+N \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\
+M_{y} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\
+M_{z} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right)
+\end{matrix} \right)
+$$
+Sotto l'ipotesi elastico lineare, supponendo di lavorare nel sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione, la relazione si semplifica assumendo la forma
+$$ \left(  \begin{matrix}
+N \\\\ M_{y} \\\\M_{z}
+\end{matrix} \right) =
+E \begin{bmatrix}
+A & 0 & 0 \\\\
+& I_{yy} & 0 \\\\
+& 0 & - I_{zz}
+\end{bmatrix}
+ \left(  \begin{matrix}
+\lambda \\\\ \mu_y \\\\ \mu_z
+\end{matrix} \right) $$

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