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qstruct:teoria:qsection:non_lineare_deformazioni_impresse

Calcolo non lineare mediante teoria delle deformazioni impresse

Caso unidimensionale

Supponiamo una relazione tra sforzo normale e deformazione di tipo non lineare

$$ N = N( \varepsilon ) $$

Sotto l'ipotesi lineare, applicando le deformazioni impresse,

$$ N = E \, A \, \left( \varepsilon - \overline \varepsilon \right) $$

Supponiamo in prima battuta $\overline \varepsilon_0 = 0$, quindi data una forza esterna $F$, avremmo una deformazione

$$ \varepsilon_0 = \overline \varepsilon_0 + \frac{F}{E \, A} $$

Poiché in generale $ N( \varepsilon_0 ) $ sarà diverso da $F$, valutiamo la differenza

$$\Delta N_0 = F - N \left( \varepsilon_0 \right) $$

Per far coincidere gli stati di deformazione e tensione tra il modello lineare e quello non lineare, introduciamo nel primo una deformazione impressa

$$\Delta \overline \varepsilon_1 = \frac{ \Delta N_0 } {E A}$$

che sommata a $\overline \varepsilon_0$ ci dà

$$ \overline \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$

Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_1$ otteniamo una deformazione

$$ \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_1 + \frac{F}{E \, A} $$

Anche in questo caso avremo in generale una differenza

$$\Delta N_1 = F - N \left( \varepsilon_1 \right) \ne 0 $$

La deformazione impressa $ \overline \varepsilon_0$ dovrà essere pertanto aumentata della quantità

$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$

ottenendo la deformazione impressa complessiva

$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1 $$

Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_2$ otteniamo una deformazione totale

$$ \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_2 + \frac{F}{E \, A} $$

Anche in questo caso avremo in generale una differenza

$$\Delta N_2 = F - N \left( \varepsilon_2 \right) $$

La deformazione impressa complessiva dovrà essere aumentata della quantità

$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$

ottenendo

$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_1 + \Delta \overline \varepsilon_2$$

Si procede iterativamente fintantoché la differenza $\Delta N_i$ non si annulli o in generale diventi trascurabile rispetto alla capacità resistente della sezione.

Caso generale

In generale la relazione tra caratteristiche di sollecitazione e parametri di deformazione della sezione è

$$ \left( \begin{matrix} N \\\\ M_{y} \\\\M_{z} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} N \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\ M_{y} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \\\\ M_{z} \left( \lambda, \mu_y, \mu_z \right) \end{matrix} \right) $$

Sotto l'ipotesi elastico lineare, supponendo di lavorare nel sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione, la relazione si semplifica assumendo la forma

$$ \left( \begin{matrix} N \\\\ M_{y} \\\\M_{z} \end{matrix} \right) = E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\\\ 0 & I_{yy} & 0 \\\\ 0 & 0 & - I_{zz} \end{bmatrix} \left( \begin{matrix} \lambda \\\\ \mu_y \\\\ \mu_z \end{matrix} \right) $$


qstruct/teoria/qsection/non_lineare_deformazioni_impresse.txt · Ultima modifica: 2016/09/15 17:10 da mickele

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