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Calcolo non lineare mediante teoria delle deformazioni impresse
Caso unidimensionale
Supponiamo una relazione tra sforzo normale e deformazione di tipo non lineare
$$ N = N( \varepsilon ) $$
Sotto l'ipotesi lineare, applicando le deformazioni impresse,
$$ N = E \, A \, \left( \varepsilon - \overline \varepsilon \right) $$
Supponiamo in prima battuta $\overline \varepsilon_0 = 0$, quindi data una forza esterna $F$, avremmo una deformazione
$$ \varepsilon_0 = \overline \varepsilon_0 + \frac{F}{E \, A} $$
Poiché in generale $ N( \varepsilon_0 ) $ sarà diverso da $F$, la differenza
$$\Delta N_0 = E \, A \, \varepsilon_0 - F \ne 0 $$
Per far coincidere gli stati di deformazione e tensione tra il modello lineare e quello non lineare, introduciamo nel primo una deformazione impressa
$$\Delta \overline \varepsilon_0 = \frac{ \Delta N_0 } {E A}$$
che sommata a $\overline \varepsilon_0$ ci dà
$$ \overline \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_0 $$
Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_1$ otteniamo una deformazione
$$ \varepsilon_1 = \overline \varepsilon_1 + \frac{F}{E \, A} $$
Anche in questo caso avremo in generale una differenza
$$\Delta N_1 = E \, A \left( \varepsilon_1 - \overline \varepsilon_1 \right) - F \ne 0 $$
La deformazione impressa $ \overline \varepsilon_0$ dovrà essere pertanto aumentata della quantità
$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$
ottenendo la deformazione impressa complessiva
$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_0 + \Delta \overline \varepsilon_1$
Riapplicando la forza $F$ al modello elastico lineare con deformazione impressa $\overline \varepsilon_2$ otteniamo una deformazione totale
$$ \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_2 + \frac{F}{E \, A} $$
Anche in questo caso avremo in generale una differenza
$$\Delta N_2 = E \, A \left( \varepsilon_2 - \overline \varepsilon_2 \right) - F$$
Per la seconda volta la deformazione impressa complessiva dovrà essere nuovamente della quantità
$$\Delta \overline \varepsilon_2 = \frac{ \Delta N_2 } {E A}$$
ottenendo
$$ \overline \varepsilon_2 = \overline \varepsilon_1 + \Delta \overline \varepsilon_2$$
Si procede iterativamente fintantoché la differenza $\Delta N_i$ non diventa trascurabile rispetto alla capacità resistente della sezione.