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Metodi probabilistici di livello 3
Funzione di stato limite e dominio di insuccesso
Indichiamo con $x_i$ le $n$ variabili aleatorie che descrivono il nostro sistema strutturale. Sinteticamente possiamo dire che i parametri $x_i$ descrivono: le azioni agenti, le dimensioni geometriche e i parametri fisici della struttura.
$$P_f = \int \limits_{Df} f \left( \mathbf{x} \right) \; \mathrm{d}\mathbf{x}$$
Probabilità di insuccesso
$$P_f = \iint \limits_{Df} f_{R,E}(r,e) \; \mathrm{d}r \mathrm{d}e$$
Introduciamo la variabile aleatoria $z$, che chiameremo esito, così definita
$$z = r - e$$
Supponendo ad $r$ ed $e$ sia associata una distribuzione standard, abbiamo
$$\mu_z = \mu_r - \mu_e$$
$$\sigma_z^2 = \sigma_r^2 + \sigma_e^2 $$
La probabilità di insuccesso può essere scritta nella forma
$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{z}(z) \; \mathrm{d}z$$
Effettuiamo la standardizzazione della variabile $z$, passando alla variabile $u$
$$u = \frac{z-\mu_z}{\sigma_z} $$
La probabilità di insuccesso diventa
$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u$$
in cui abbiamo introdotto il parametro $\beta = \mu_z / \sigma_z$ e la funzione standard di Gauss $f_{std}(u)$. Essendo quest'ultima una funzione simmetrica, possiamo scrivere
$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = \int \limits_{\beta}^{\infty} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = 1 - F_{std}\left( \beta \right)$$
Il parametro $\beta $ ci permette di valutare la proabilità di insuccesso della nostra struttura ed è pertanto un parametro sintetico significativo per valutare la sicurezza di una struttura. Chiameremo $\beta$ indice di affidabilità della struttura.