Indichiamo con $x_i$ le $n$ variabili aleatorie che descrivono il nostro sistema strutturale. Sinteticamente possiamo dire che i parametri $x_i$ descrivono: le azioni agenti, le dimensioni geometriche e i parametri fisici della struttura.

$$P_f = \int \limits_{Df} f \left( \mathbf{x} \right) \; \mathrm{d}\mathbf{x}$$

$$P_f = \iint \limits_{Df} f_{R,E}(r,e) \; \mathrm{d}r \mathrm{d}e$$

Introduciamo la variabile aleatoria $z$, che chiameremo esito, così definita

$$z = r - e$$

Supponendo ad $r$ ed $e$ sia associata una distribuzione standard, abbiamo

$$\mu_z = \mu_r - \mu_e$$

$$\sigma_z^2 = \sigma_r^2 + \sigma_e^2 $$

La probabilità di insuccesso può essere scritta nella forma

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{z}(z) \; \mathrm{d}z$$

Effettuiamo la standardizzazione della variabile $z$, passando alla variabile $u$

$$u = \frac{z-\mu_z}{\sigma_z} $$

La probabilità di insuccesso diventa

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u$$

in cui abbiamo introdotto il parametro $\beta = \mu_z / \sigma_z$ e la funzione standard di Gauss $f_{std}(u)$. Essendo quest'ultima una funzione simmetrica, possiamo scrivere

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = \int \limits_{\beta}^{\infty} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = 1 - F_{std}\left( \beta \right)$$

Il parametro $\beta $ ci permette di valutare la proabilità di insuccesso della nostra struttura ed è pertanto un parametro sintetico significativo per valutare la sicurezza di una struttura. Chiameremo $\beta$ indice di affidabilità della struttura.