$$P_r = \int \limits_{Dr} f \left( \mathbf{x} \right) \; \mathrm{d}\mathbf{x}$$

$$P_r = \iint \limits_{Dr} f_{R,E}(r,e) \; \mathrm{d}r \mathrm{d}e$$

Introduciamo la variabile aleatoria $z$, che chiameremo esito, così definita

$$z = r - e$$

Supponendo ad $r$ ed $s$ sia associata una distribuzione standard, abbiamo

$$\mu_z = \mu_r - \mu_e$$

$$\sigma_z^2 = \sigma_r^2 + \sigma_e^2 $$

La probabilità di insuccesso può essere scritta nella forma

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{z}(z) \; \mathrm{d}z$$

Effettuiamo la standardizzazione della variabile $z$, passando alla variabile $u$

$$u = \frac{z-\mu_z}{\sigma_z} $$

La probabilità di insuccesso diventa

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u$$

in cui $f_{std}(u)$ è la funzione standard di Gauss