tecnica_costruzioni:sicurezza_strutturale:probabilistico_livello_2
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tecnica_costruzioni:sicurezza_strutturale:probabilistico_livello_2 [2013/06/25 09:53] mickele [Metodi probabilistici di livello 2] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Metodi probabilistici di livello 2 ====== | ====== Metodi probabilistici di livello 2 ====== | ||
- | Approssimiamo | + | I metodi probabilistici di livello 2 approssimiamo |
$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$ | $$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$ | ||
- | ====== Indice | + | In base all' |
+ | * i metodi FORM arrestano lo sviluppo in serie al primo ordine | ||
+ | * i metodi SORM si fermano al secondo ordine. | ||
- | $$P_f = \iint \limits_{Df} f_{R,E}(r,e) \; \mathrm{d}r \mathrm{d}e$$ | + | Inoltre tali metodi spostano l' |
+ | ====== Indice di sicurezza ====== | ||
- | Introduciamo la variabile aleatoria | + | Supponiamo sia possibile dividere le variabili aleatorie associate al nostro sistema in due insiemi: |
+ | * variabili con effetto favorevole sullo stato limite | ||
+ | * variabili con effetto sfavorevole sullo stato limite $e$; supponiamo siano le $x_i$ di indice compreso tra $m+1$ e $n$ | ||
- | $$z = r - e$$ | + | A ciascun insieme di variabili associamo una variabile aleatoria |
- | Supponendo ad $r$ ed $e$ sia associata una distribuzione standard, abbiamo | + | * $ r = g_r \left( x_i \right)$ con $i=1 \dots m$ |
+ | * $ e = g_e \left( x_i \right)$ con $i=m+1 \dots n$ | ||
- | $$\mu_z = \mu_r - \mu_e$$ | + | Supponiamo infine che la funzione di stato limite assuma la forma |
- | $$\sigma_z^2 | + | $g_{LS} |
- | La probabilità | + | Supponendo che $r$ ed $e$ siano statisticamente indipendenti e che a ciascuno |
- | $$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{z}(z) \; \mathrm{d}z$$ | + | $$\mu_g = \mu_r - \mu_e$$ |
- | Effettuiamo la standardizzazione della variabile | + | $$\sigma_g^2 = \sigma_r^2 + \sigma_e^2 |
- | $$u = \frac{z-\mu_z}{\sigma_z} $$ | + | Con le ipotesi semplificative introdotte sopra, la probabilità di insuccesso può essere calcolata mediante l' |
- | La probabilità di insuccesso diventa | + | $$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{n}(g) \; \mathrm{d}g$$ |
- | $$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} | + | in cui ricordiamo che $f_{n}$ è una funzione del tipo |
- | in cui abbiamo introdotto il parametro | + | $$f_{n} |
- | $$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = \int \limits_{\beta}^{\infty} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = 1 - F_{std}\left( \beta \right)$$ | + | Effettuiamo un cambio di variabile passando dalla variabile |
+ | |||
+ | $$u_g = \frac{g_{LS} - \mu_g}{\sigma_g} $$ | ||
+ | |||
+ | Con questa posizione $f_{n}(u_g)$ è una funzione simmetrica; possiamo quindi scrivere | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \DeclareMathOperator\erf{erf} | ||
+ | P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{n}(u_g) \; \mathrm{d}u_g = \int \limits_{\beta}^{\infty} f_{n}(u_g) \; \mathrm{d}u_g = 1 - \frac{1}{2} \left[ 1 + \erf \left( \frac{u_g}{\sqrt{2}} | ||
+ | |||
+ | $\frac{1}{2} \left[ 1 + \erf \left( \frac{u_g}{\sqrt{2}} | ||
+ | |||
+ | A sua volta $\DeclareMathOperator\erf{erf} \erf \left( x \right)$ è la funzione degli errori di Gauss, pari a | ||
+ | |||
+ | $$\DeclareMathOperator\erf{erf} \erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int \limits_{0}^{x} \exp \left( -t^2 \right) \mathrm{d} t$$ | ||
+ | |||
+ | I suoi valori sono facilmente determinabili negli ambienti di calcolo matematici di utilizzo usuale (excel, libreoffice-calc, | ||
+ | |||
+ | La probabilità di insuccesso è quindi funzione del solo parametro $\beta$ denominato //indice di sicurezza// poiché direttamente correlato con la probabilità di raggiungimento dello stato limite. | ||
+ | |||
+ | Dall' | ||
+ | |||
+ | ^ $P_f$ | $10^{-1}$ | ||
+ | ^ $\beta$ | ||
+ | |||
+ | Partendo da tale osservazione, | ||
+ | |||
+ | ^ Classe di sicurezza | ||
+ | ^ ^ periodo di riferimento\\ 1 anno ^ periodo di riferimento\\ 50 anni ^ | ||
+ | ^ RC3 | 5,2 | 4,3 | | ||
+ | ^ RC2 | 4,7 | 3,8 | | ||
+ | ^ RC1 | 4,2 | 3,3 | | ||
+ | |||
+ | La classe di sicurezza è correlata con le conseguenze del collasso in termini di perdite di vite umane, economiche, sociali o ambientali (RC3 -> conseguenze eccezionali; | ||
- | Il parametro $\beta $ ci permette di valutare la proabilità di insuccesso della nostra struttura ed è pertanto un parametro sintetico significativo per valutare la sicurezza di una struttura. Chiameremo $\beta$ //indice di affidabilità// | ||
===== FORM ===== | ===== FORM ===== | ||
I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine. | I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine. | ||
+ | |||
+ | Sotto tale ipotesi, sulla base di quanto visto al paragrafo precedente, procediamo al calcolo dell' | ||
+ | |||
+ | Cerchiamo di dare un' | ||
+ | |||
+ | Per farlo effettuiamo il cambio di variabili | ||
+ | |||
+ | $$r' = \frac{r - \mu_r}{\sigma_r} $$ | ||
+ | |||
+ | $$e' = \frac{e - \mu_e}{\sigma_e} $$ | ||
+ | |||
+ | Poiché la funzione di stato limite $g_{LS}$ è lineare rispetto ad $r'$ ed $e'$. Da quanto detto sopra questo vuol dire che: | ||
+ | * o la funzione di stato limite è effettivamente lineare | ||
+ | * o approssimiamo la funzione di stato limite al suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine e centrato in un certo punto. | ||
+ | |||
+ | Nel piano $r' | ||
+ | |||
==== FOSM ==== | ==== FOSM ==== | ||
Linea 48: | Linea 103: | ||
Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo | Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo | ||
- | $$\mu_z = g(\mu_{x, | + | $$\mu_g = g(\mu_{x, |
- | $$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_x} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_x} \sigma_{xi, | + | $$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_g} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_g} \sigma_{xi, |
in cui $\sigma_{xi, | in cui $\sigma_{xi, | ||
- | Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza | + | Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza |
- | $$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_x} \sigma_{x, | + | $$\sigma_g^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_g} \sigma_{x, |
==== AFOSM ==== | ==== AFOSM ==== | ||
- | Anche il metodo AFOSM (Advanced First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine | + | Nel caso la funzione di stato limite sia lineare, il metodo FOSM ci permette di valutare il valore esatto dell' |
+ | |||
+ | Per risolvere tale problema è stato formulato | ||
+ | |||
+ | A tal proposito gli approcci possibili sono di varia natura, più o meno complessi. L' | ||
- | $$ \beta_{HL} = \min \left\{ \left( | + | $$ \beta_{min} = \min \left\{ \left( |
===== SORM ===== | ===== SORM ===== | ||
tecnica_costruzioni/sicurezza_strutturale/probabilistico_livello_2.1372146819.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)