Approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor, secondo

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) = g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right) + \dots $$

$$P_f = \iint \limits_{Df} f_{R,E}(r,e) \; \mathrm{d}r \mathrm{d}e$$

Introduciamo la variabile aleatoria $z$, che chiameremo esito, così definita

$$z = r - e$$

Supponendo ad $r$ ed $e$ sia associata una distribuzione standard, abbiamo

$$\mu_z = \mu_r - \mu_e$$

$$\sigma_z^2 = \sigma_r^2 + \sigma_e^2 $$

La probabilità di insuccesso può essere scritta nella forma

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{0} f_{z}(z) \; \mathrm{d}z$$

Effettuiamo la standardizzazione della variabile $z$, passando alla variabile $u$

$$u = \frac{z-\mu_z}{\sigma_z} $$

La probabilità di insuccesso diventa

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u$$

in cui abbiamo introdotto il parametro $\beta = \mu_z / \sigma_z$ e la funzione standard di Gauss $f_{std}(u)$. Essendo quest'ultima una funzione simmetrica, possiamo scrivere

$$P_r = \int \limits_{-\infty}^{-\beta} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = \int \limits_{\beta}^{\infty} f_{std}(u) \; \mathrm{d}u = 1 - F_{std}\left( \beta \right)$$

Il parametro $\beta $ ci permette di valutare la proabilità di insuccesso della nostra struttura ed è pertanto un parametro sintetico significativo per valutare la sicurezza di una struttura. Chiameremo $\beta$ indice di affidabilità della struttura.

I metodi FORM (First Order Reliability Methods) approssimano la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor interrotto al primo ordine.

Il metodo FOSM (First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine e centrato nei valori medi delle variabili aleatorie

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n ) \approx g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n}) + \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i}\right)_{\mu_x} \left( x_i - \mu_{x,i}\right) \\ = g(\mathbf{\mu_x}) + \nabla g_{\mu_x} \cdot \left( \mathbf{x} - \mathbf{\mu_x} \right)$$

Sotto tali ipotesi, indicando con z la variabile aleatoria esito, pari al valore assunto dalla funzione di stato limite, abbiamo

$$\mu_z = g(\mu_{x,1}, \mu_{x,2}, \dots \mu_{x,n})$$

$$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)_{\mu_x} \left( \frac{\partial g}{\partial x_j} \right)_{\mu_x} \sigma_{xi,xj}^2$$

in cui $\sigma_{xi,xj}$ è la covarianza della variabile $x_i$ rispetto alla variabile $x_j$.

Nel caso le variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti il calcolo della varianza della variabile $z$ si semplifica

$$\sigma_z^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} \left( \frac{\partial g}{\partial x_i} \right)^2_{\mu_x} \sigma_{x,i}^2$$

Anche il metodo AFOSM (Advanced First Order Second Moment) approssima la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine che però viene centrato in un punto $\mathbf{x^{*}}$ scelto in maniera da minimizzare $\beta = \mu_z / \sigma_z$

$$ \beta_{HL} = \min \left\{ \left( \frac{\mu_z}{\sigma_z} \right)_{\mathbf{x^{*}}} \right\}$$

Con i metodi SORM (Second Order Reliabilty Methods) approssimiamo la funzione di stato limite con il suo sviluppo in serie di Taylor troncato al secondo ordine

$$g(\mathbf{x}) = g(x_1, x_2, \dots x_n) \approx g(\mathbf{x^{*}}) + \sum \limits_{i}^n \frac{\partial g}{\partial x_i} \left( x_i - x_i^{*}\right) + \frac{1}{2} \sum \limits_{i}^n \sum \limits_{j}^n \frac{\partial^2 g}{\partial x_i \partial x_j} \left( x_i - x_i^{*}\right) \left( x_j - x_j^{*}\right)$$