Nella progettazione di una struttura è necessario riferirsi ai seguenti requisiti:

• resistenza strutturale (safety)
• funzionalità (serviceability)
• durabilità
• robustezza (robustness)

Chiamiamo stato limite una situazione oltre la quale la struttura analizzata non soddisfa uno di tali requisiti.

Per definire analiticamente la condizione di stato limite supponiamo di essere in grado di definire un vettore $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ i cui termini $x_i$ sono le $n$ variabili aleatorie che descrivono il sistema strutturale. Sinteticamente possiamo dire che i parametri $x_i$ riguardano:

• azioni agenti
• dimensioni geometriche
• parametri fisici.

Individuato il vettore $\mathbf{x}$ supponiamo di essere in grado di definire una funzione reale $g_[LS]\left( \mathbf{x} \right)$ definita in modo tale che:

• se $g_{LS} \left( \mathbf{x} \right) > 0$ la struttura rispetta il requisitio richiesto
• se $g_{LS}\left( \mathbf{x} \right) \le 0$ la struttura non rispetta il requisitio richiesto

L'equazione $g_{LS}\left( \mathbf{x} \right) = 0$ descrive allora la condizione di stato limite.

Avremo almeno una funzione $g_{LS}\left( \mathbf{x} \right) $ per ciascun requisito analizzato. In alcuni casi potremmo avere più funzioni di stato limite associate allo stesso requisito.

Definiamo dominio di insuccesso l'insieme dei valori $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ per i quali

$$g_{LS}\left( \mathbf{x} \right) < 0$$

oppure in forma più compatta

$$D_f = \left\{ \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n | g_{LS}\left( \mathbf{x} \right) < 0 \right\} $$

Nota la distribuzione statistica delle variabili aleatorie $x_i$, è possibile calcolare, per ciascun stato limite, la probabilità che la variabili $\mathbf{x}$ siano all'interno del dominio di insuccesso $D_f$, ossia la probabilità che la nostra struttura superi la condizione di stato limite. Nel caso stessimo analizzando lo stato limite di collasso strutturale, possiamo calcolare la probabilità di collasso della struttura.

Per calcolare tale probabilità, che chiameremo probabilità di insuccesso, in generale è necessario che la conoscenza della distribuzione statistica delle variabili $x_i$ riguardi anche possibili correlazioni tra le variabili stesse. E' necessario quindi conoscere la funzione distribuzione di probabilità congiunta (PDF) delle variabili x_i, che chiameremo $f_x \left( \mathbf{x} \right)$.

Nota $f_x \left( \mathbf{x} \right)$ la probabilità di insuccesso è data da

$$P_f = \int \limits_{Df} f_x \left( \mathbf{x} \right) \; \mathrm{d}\mathbf{x}$$

Qualora le $n$ variabili $x_i$ siano statisticamente indipendenti, $f_x \left( \mathbf{x} \right)$ è data dal prodotto delle PDF delle singole variabili, che indicheremo con $f_{x,i} \left(x_i\right)$. La probabilità di insuccesso sarà allora pari a

$$P_f = \int \limits_{Df} \prod \limits_{i=1}^n f_{x,i} \left( x_i \right) \; \mathrm{d}\mathbf{x}$$