La sezione del nostro solaio è composta da una trave in legno di dimensioni $b_w, h_w$ e da una soletta in calcestruzzo di spessore $t_c$. L'interasse dei travetti è $i$.

La trave in legno e la soletta in cls sono collegati tramite connettori meccanici.

L'assito sottostante la soletta può interrompersi in corrispondenza della trave, ed in tal caso parleremo di assito interrotto.

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O può essere continuo, nel qual caso parleremo di assito passante

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Le connessioni puntuali legno-calcestruzzo sono usualmente di tipo deformabile. Nei calcoli ci dovremo pertanto riferire ad una rigidezza efficace $(E \cdot J)_{eff}$ maggiore della somma delle rigidezze delle singole travi, ma minore della rigidezza che avremmo nell'ipotesi di connessione rigida. Di seguito valuteremo $(E \cdot J)_{eff}$ secondo le indicazioni dell'appendice B dell'Eurocodice 5 (UNI EN 1995-1-1:2004).

L'applicazione della suddetta metodologia semplificata è valida a condizione che siano rispettate le seguenti ipotesi:

• la trave è soggetta ad un momento di tipo sinusoidale/parabolico
• la trave è semplicemente appoggiata con una luce pari a $l_0$; nel caso di trave continua potremo assumere $l_0 = 0,8 \cdot l$.
• la spaziatura dei connettori è supposta costante; nel caso di spaziatura variabile da $s_{min}$ a $s_{max}$, deve essere $s_{} \le 4 \cdot s_{max}$; nell'ipotesi il passo massimo $s_{max}$ sia applicato su campi vicini agli appoggi larghi $l_0 / 3$, è possibile riferirisi ad un interasse equivalente $s_{eq} = 0,75 \cdot s_{min} + 0,25 \cdot s_{max} $.

La rigidezza efficace è data da

$$(E \cdot J)_{eff} = E_{w} \cdot J_{w} + E_w \cdot A_w \cdot a_w^2 + E_{c} \cdot J_{c} + \gamma_c \cdot E_c \cdot A_c \cdot a_c^2 $$

Nel nostro caso

• $A_w = b_w \cdot h_w$: area della sezione in legno
• $J_w = b_w \cdot h_w^3 /12$: momento di inerzia della sezione in legno
• $A_c = i \cdot t_c$: area della sezione in cls
• $I_c = i \cdot t_c^3 / 12$: momento di inerzia della sezione in cls
• $\gamma_c = \left[ 1 + \frac{\pi^2 \cdot E_c \cdot A_c \cdot s_{eq}}{K \cdot l_0^2} \right]^{-1}$: coefficiente di cui al punto (B.5) della UNI EN 1995-1-1
• $a_w = \frac{\gamma_c \cdot E_c \cdot A_c \left( t_c + h_w \right)}{2 \left( E_w \cdot A_w + \gamma_c \cdot E_c \cdot A_c \right) }$
• $a_c = \frac{h_w + t_c}{2} - a_w$
• $K$ è il modulo di scorrimento della connessione

Il comportamento marcatamente non lineare dei connettori porta a distinguere una modulo di scorrimento in condizioni di esercizio $K_{ser}$ ed uno a stato limite ultimo $K_{u}$.

Il modulo di scorrimento effettivo da adottare nel calcolo delle rigidezza efficace deve inoltre tener conto della durata di applicazione del carico e delle condizioni ambientali. Il problema viene analizzato in prima battuta determinando i moduli di scorrimento istantanei $K_{ser,ist}$ e $K_{u,ist}$ che successivamente verranno modificati per tener conto della classe di carico e della classe di servizio.

I moduli di scorrimento istantanei possono essere determinati mediante prove sperimentali condotte secondo le indicazioni della UNI EN 26891, o mediante formule analitiche. Nel caso adottiamo connettori speciali diversi dal semplice gambo cilindrico è necessario procedere con la determinazione sperimentale. Nel caso di connettori metallici cilindrici sono disponibili formule analitiche.

Per quanto riguarda quest'ultima modalità, nel caso di assito interrotto, l'eurocodice 5 fornisce la seguente indicazione

$$K_{ser,ist} = 2 \rho_m^{1,5} \frac{d}{23}$$

Qualora l'assito non sia interrotto, la formula fornita dall'eurocodice non risulta essere a favore di sicurezza. E' invece opportuno riferirisi alle formule indicate da è preferibile valutare il modulo di scorrimento mediante la relazione fornita da Gelfi, Giuriani, Marini (P. Gelfi, E. Giuriani, A. Marini - COMPORTAMENTO DELLA CONNESSIONE A PIOLO NELLE TRAVI MISTE IN LEGNO E CALCESTRUZZO: MODELLAZIONE TEORICA E CONFRONTI SPERIMENTALI - Ancona 29 – 30 Ottobre 1998).

Per l'applicazione di tali formule è innanzi tutto necessario assicurare un adeguato affondamento del piolo sia nella trave in legno che nella soletta in cls. L'affondamento nel legno $L_{w}$ deve essere

$$L_{w} \ge 6 d_P $$

L'affondamento nel calcestruzzo $L_{c}$ deve rispettare

$$L_{c} \ge 3 d_P $$

in cui $d_P$ è il diametro del connettore.

Sotto tali ipotesi, nel caso di assito passante,

$$K_{ser,ist} = \frac{12 \cdot \left( \alpha_c \cdot \alpha_w \right)^3 \cdot E_P \cdot J_P}{Z}$$

in cui

• $\alpha_c = \sqrt[4]{\frac{k_c}{4 E_P J_P}} $

• $\alpha_w = \sqrt[4]{\frac{k_w}{4 E_P J_P}} $

• $Z = 3 \left( \alpha_c^2 + \alpha_w^2\right) \left( \alpha_c + \alpha_w \right) + 3 t \cdot \alpha_c \cdot \alpha_w \left( \alpha_c + \alpha_w \right)^2 + 3 t^2 \cdot \alpha_c^2 \cdot \alpha_w^2 \left( \alpha_c + \alpha_w \right) + t^3 \cdot \alpha_c^3 \cdot \alpha_w^3 $

• $t$ è lo spessore dell'assito interposto

• $E_P J_P$ è le rigidezza flessionale del piolo $J_P = \pi \frac{d^4}{64}$

• $k_c = \frac{E_{cm}}{\beta}$, con $\beta = \left[ 8 \left( 0,2 - \frac{d}{s_{eq}} \right) + 2,5 \right]$

• $k_w = \frac{14.000}{MC} \; [MPa]$

Per valori usuali delle grandezze analizzate, la formula può essere semplificata nella forma

$$K_{ser,ist} = 124.000 \frac{d}{\left( 4,34 + t/d \right)^3}$$

Il modulo di scorrimento effettivo da assumere nei calcoli dipende dalle condizioni ambientali e dalla durata di applicazione del carico (leggi classe di servizio e classe di durata) secondo le relazioni

$$K_{ser} = \frac{K_{ser,ist}}{ 1 + k_{def} } $$

I valori fin qui calcolati si riferiscono alle condizioni di esercizio. In condizioni di stato limite ultimo assumeremo il modulo di scorrimento $K_{u}$

$$K_{u} = \frac{2}{3} K_{ser}$$

Il metodo si basa sull'ipotesi di comportamento elastico-lineare del legno e di legge costitutiva rettangolare per il calcestruzzo (stress-block).

Assumiamo che la connessione abbia raggiunto il suo carico ultimo di rottura e si sia formata una cerniera plastica all'interfaccia tra legno e calcestruzzo. Sotto tale ipotesi la risultante delle tensioni nel calcestruzzo deve eguagliare il carico ultimo di rottura della connessione secondo

$$ i \cdot s \cdot x \cdot f_{cd} = V_{Rd,con}$$

Possiamo allora calcolare l'altezza della porzione di calcestruzzo compressa $x$

$$ x = \frac{V_{con,d}}{i \cdot s \cdot f_{cd}} \le t_{c}$$

Se $ x \le t_{c}$, la risutante dello sforzo di compressione $N_{Ed,c}$ nel cls è uguale a $V_{Rd,con}$. Altrimenti è uguale a

$$N_{Ed,c} = i \cdot s \cdot t_c \cdot f_{cd}$$

Per garantire il rispetto delle condizioni di sollecitazione ($N = 0$, $M_{Ed} \ne 0$) la sezione in legno deve essere soggetta ad uno sforzo di trazione

$$N_{Ed,w} = N_{Ed,c}$$

ed un momento di trasporto

$$M_{Ed,w} = - N_{Ed,c} \left( \frac{h_w}{2} + t_c - \frac{x}{2} \right)$$

La tensione massima nel travetto di legno è allora data da

$$\sigma_m = \frac{N_{Ed,c}}{A} + \frac{1}{W_{w,y}} \left[ M_{Ed} - N_{Ed,c} \left( \frac{h_w}{2} + t_c - \frac{x}{2} \right) \right]$$

che dovrà essere inferiore alla tensione resitente massima del legno $f_{w,m,d}$ per la classe di durata scelta.

L'espressione sopra riportata ci permette di evidenziare il contributo della soletta in calcestruzzo alla riduzione della tensione nella trave, pari a

$$\Delta \sigma_m = N_{Ed,c} \left[ \frac{1}{A} - \frac{1}{W_{w,y}} \left( \frac{h_w}{2} + t_c - \frac{x}{2} \right) \right] $$

Il taglio verrà invece assorbito interamente dalla travetto in legno, quindi

$$ \tau_d = \frac{3}{2} \cdot \frac{V_{Ed}}{b_w \cdot h_w} \le f_{w,v,d}$$

Il metodo si basa sull'ipotesi di comportamento elastico-lineare sia del legno che del calcestruzzo.

Tecnica Costruzioni:Legno:SL Legno cemento 02.svg

E' allora necessario calcolare la rigidezza efficace efficace in condizioni di rottura, impiegando la corrispondente rigidezza $K_u$.

Determinate le grandezze viste al paragrafo precedente si passa alla verifica tensionale. Sempre seguendo le indicazioni dell'appendice B dell'eurocodice 5 possiamo calcolare la tensione massima nel travetto di legno

$$\sigma_{w,max} = \frac{E_{w}}{\left( E \, I \right)_{ef}} \left( \frac{h_{w}}{2 } + a_w \right) M$$

$$\sigma_{w,min} = \frac{E_{w}}{\left( E \, I \right)_{ef}} \left( \frac{h_{w}}{2 } - a_w \right) M$$

Le tensioni nel calcestruzzo sono date da

$$\sigma_{c,max} = \frac{E_{c}}{\left( E \, I \right)_{ef}} \left( \frac{h_{c}}{2 } + \gamma_c \cdot a_c \right) M$$

$$\sigma_{c,min} = \frac{E_{c}}{\left( E \, I \right)_{ef}} \left( \frac{h_{c}}{2 } - \gamma_c \cdot a_c \right) M$$

Se le tensioni nel calcestruzzo sono entrambe negative, verificheremo che il loro modulo sia minore di $f_{cd}$. Se una delle due è di trazione, dovremo verificare che il relativo valore sia minore di $f_{ctd}$.

La tensione tangenziale massima nel legno è pari a

$$\tau_{w,max} = \frac{E_w \cdot h_w^2}{2 \left( E \, I \right)_{ef}} V \le f_{v,d}$$

Lo sforzo tagliante nel connettore è pari a

$$V_{P,Ed} = \gamma_{c} \frac{E_c \cdot A_c \cdot a_c \cdot s}{\left( E \, I \right)_{ef}} V $$

Tale valore va confrontato con il relativo sforzo resistente di progetto V_{P,Rd} pari a

$$ V_{P,Rd} = k_{mod} \frac{V_{P,Rk}}{\gamma_m} $$

Nel caso di connettori che non siano semplici barre in acciaio, $V_{P,Rk}$ dovrà essere determinato sperimentalmente secondo quanto previsto dalla UNI EN 26891.

Nel caso di semplici connettori a gambo cilindrico la resistenza caratteristica V_{P,Rk}, nel caso di assito interrotto, è data da

$$ V_{P,Rk} = \min \begin{cases} f_{hw,k} \cdot L_w \cdot d_P \\ f_{hw,k} \cdot L_w \cdot d_P \left[ \sqrt{ 2 + \frac{4 M_{y,Rk}}{f_{hw,k} \cdot d_P \cdot L_w^2 } } - 1 \right]\\ 2 \sqrt{M_{y,Rk} \cdot f_{hw,k} \cdot d_P} \end{cases}$$

in cui:

• $f_{h,w,k} = 0,082 \left( 1 - 0,01 d_P \right) \rho_k$
• $M_{y,Rk} = 0,3 f_{uk} d_P^{2,6}$

La formula riportata nell'EC5 appare invece non cautelativa nel caso di assito passante. In tali condizioni è opportuno fare riferimento a Gelfi, Giuriani, Marini (P. Gelfi, E. Giuriani, A. Marini - Comportamento della connessione a piolo nelle travi miste in legno e calcestruzzo: modellazione teorica e confronti sperimentali - Ancona 29 – 30 Ottobre 1998) che riportano

$$ V_{P,Rk} = \chi_w f_{h,w,k} d_P^2$$

Il coefficiente $\chi_w$ esprime il rapporto tra la lunghezza efficace del piolo ed il suo diametro ed è pari a

$$\chi_w = \frac{1}{1 + f_{h,w,k} / f_{h,c,k} } \left[ \sqrt{ \frac{2}{3} \frac{f_{yk}}{f_{h,w,k}} \left( 1 + \frac{f_{h,w,k}}{f_{h,c,k}} \right) + \left( \frac{t}{d} \right)^2} - \frac{t}{d}\right] $$

in cui

• $f_{h,c,k} = 4 R_{ck} $ è la resistenza a rifollamento del calcestruzzo.
• $t$ è lo spessore dell'assito

Per lo stato limite di esercizio è necessario verificare il valore dell'inflessione.

Per calcolare la freccia dovremo prima valutare la rigidezza efficace, calcata secondo quanto già visto, avendo cura questa volte di riferirsi alla rigidezza $K_{ser}$ della connessione.

La freccia della trave, nell'ipotesi di trave semplicemente appoggiata, sarà quindi pari a

$$f_{max} = \frac{5}{384} \frac{q \cdot l_0^4}{(E \cdot J)_{eff}}$$