tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione
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tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2014/05/07 06:23] mickele [Sezione rettangolare] |
tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2021/06/13 13:09] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Pressoflessione retta ====== | ||
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- | ===== Compressione in presenza di eccentricità piccola o nulla ===== | ||
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- | Usualmente $M_y$ ed $N$ sono riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo. | ||
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- | L' | ||
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- | $$\iint \limits_{S} \sigma_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow \iint \limits_{S} E \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N $$ | ||
- | |||
- | Valendo il principio di conservazione delle sezioni piane, nell' | ||
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- | $$\varepsilon_x = \lambda + \chi_y \; z$$ | ||
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- | Possiamo allora riscrivere l' | ||
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- | $$E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \left( \lambda + \chi_y \; z \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0 \Longrightarrow \lambda | ||
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- | Esprimibile anche come | ||
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- | $$\lambda | ||
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- | Lavorando in un sistema baricentrico rispetto alla sezione omogeneizzata $S_{\alpha, | ||
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- | $$\lambda | ||
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- | Analogamente imponendo l' | ||
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- | $$\iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M^*_y \Longrightarrow | ||
- | E_0 \, \lambda \iint \limits_{S} \alpha_e | ||
- | E_0 \, \lambda \, S_{\alpha, | ||
- | \chi_y = \frac{M^*_y}{E_0 \, I_{\alpha, | ||
- | |||
- | $M^*_y$ è ottenuto traslando $N$ ed $M_y$ nel baricentro della sezione omogeneizzata. Supponendo che il sistema di riferimento di partenza sia riferito al baricentro della sola sezione in calcestruzzo, | ||
- | |||
- | $$M^*_y = M_y - N \; z_{\alpha, | ||
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- | Le tensioni saranno pari a | ||
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- | $$\sigma_z = \frac{N}{A_\alpha} + \frac{M^*_y}{I_{\alpha, | ||
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- | Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l' | ||
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- | Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: | ||
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- | ===== Compressione in presenza di grande eccentricità ===== | ||
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- | L' | ||
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- | $$\lambda | ||
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- | la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti. | ||
- | |||
- | Conviene imporre l' | ||
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- | $$e_y = - \frac{M_z}{N} = 0$$ | ||
- | |||
- | $$e_z = - \frac{M_y}{N} = 0$$ | ||
- | |||
- | Sotto tali ipotesi l' | ||
- | |||
- | $$E_0 \, \lambda \, S_{y} + E_0 \, \chi_y | ||
- | |||
- | Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere: | ||
- | * in generale, con metodi iterativi implementati al calcolatore; | ||
- | * nel caso di sezioni di semplice geometria, con formule chiuse. | ||
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- | ==== Sezione rettangolare ==== | ||
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- | Supponiamo $N$ $\left( N < 0 \right)$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo. | ||
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- | Poniamo l'asse y all' | ||
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- | $$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$ | ||
- | |||
- | Imponiamo ora l' | ||
- | |||
- | $$E_0 \, \chi_y | ||
- | |||
- | Dividendo le due equazioni appena scritte, con semplici passaggi otteniamo $x$ risolvendo l' | ||
- | |||
- | $$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\ | ||
- | \left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right] \Longrightarrow \\ | ||
- | \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2 - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\ | ||
- | - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) | ||
- | \frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0 \Longrightarrow \\ | ||
- | N \, b \, x^3 - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$ | ||
- | |||
- | Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l' | ||
- | |||
- | E' possibile trovare le radici di un equazione di terzo grado mediante: | ||
- | * metodi di risoluzione numerica | ||
- | * formule chiuse (per approfondire l' | ||
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- | Procediamo co quest' | ||
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- | $$a = N \, b \\ | ||
- | b = - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \\ | ||
- | c = 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] \\ | ||
- | d = 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] $$ | ||
- | |||
- | trasformando l' | ||
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- | $$a \, x^3 + b \, x^2 + c \, x + d = 0$$ | ||
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- | Facciamo le ulteriori posizioni | ||
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- | $$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3 a^2} $$ | ||
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- | $$q = \frac{d}{a} - \frac{bc}{3 a^2} + \frac{2b^3}{27 a^3} $$ | ||
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- | Il metodo risoutivo per il calcolo delle radici prevede quindi di valutare il segno della quantità | ||
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- | $$\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$$ | ||
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- | Nei casi di interesse pratico la suddetta quantità è negativa, quindi occorre calcolare la quantità complessa $- \frac{q}{2} + i \sqrt{-\Delta}$. Assunto pari a $\theta$ la fase di tale numero complesso in forma trgonometrica, | ||
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- | $$ x_{1,2,3} = 2 \sqrt{- \frac{p}{3}} \cos \frac{\theta + 2 \; k \; \pi}{3}$$ | ||
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- | con $k = 0, \; 1, \; 2$ | ||
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- | La soluzione $x$ ricercata, per avere significato fisico, dovrà essere $0 \le x \le h$. | ||
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