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--- tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2014/05/03 20:25]
mickele [Sezione rettangolare]
+++ tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Pressoflessione retta ======
-===== Compressione in presenza di eccentricità piccola o nulla =====
-Usualmente $M_y$ ed $N$ sono riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo.
-L'imposizione dell'equilibrio a traslazione ci dà
-$$\iint \limits_{S} \sigma_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow \iint \limits_{S} E \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N $$
-Valendo il principio di conservazione delle sezioni piane, nell'ipotesi di flessione retta, abbiamo
-$$\varepsilon_x = \lambda + \chi_y \; z$$
-Possiamo allora riscrivere l'equazione di equilibrio a traslazione
-$$E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \left( \lambda + \chi_y \; z \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0 \Longrightarrow \lambda  \, E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \chi_y \, E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N$$
-Esprimibile anche come
-$$\lambda  \, E_0 \, A_\alpha + \chi_y \, E_0 \, S_{\alpha,y}= N$$
-Lavorando in un sistema baricentrico rispetto alla sezione omogeneizzata $S_{\alpha,y} = 0$, quindi
-$$\lambda  = \frac{N}{E_0 \, A_\alpha}$$
-Analogamente imponendo l'equilibrio a rotazione rispetto al baricentro della sezione in calcestruzzo
-$$\iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M^*_y \Longrightarrow
-E_0 \, \lambda \iint \limits_{S} \alpha_e  \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + E_0 \, \chi_y  \iint \limits_{S} \, z^2 \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M_y \Longrightarrow \\
-E_0 \, \lambda \, S_{\alpha,y} + E_0 \, \chi_y  \, I_{\alpha,yy} = M^*_y \Longrightarrow
-\chi_y = \frac{M^*_y}{E_0 \, I_{\alpha,yy}}$$
-$M^*_y$ è ottenuto traslando $N$ ed $M_y$ nel baricentro della sezione omogeneizzata. Supponendo che il sistema di riferimento di partenza sia riferito al baricentro della sola sezione in calcestruzzo, e assumendo  $\left( y_{\alpha,G}, z_{\alpha,G} \right)$ le coordinate del baricentro della sezione omogeneizzata, avremo
-$$M^*_y = M_y - N \; z_{\alpha,G} $$
-Le tensioni saranno pari a
-$$\sigma_z =  \frac{N}{A_\alpha} + \frac{M^*_y}{I_{\alpha,yy}} y $$
-Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l'unica accortezza di riferirle alla sezione omogeneizzata.
-Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: alla luce dell'ipotesi di comportamento elastico lineare, è necessario verificare che tutta la sezione in calcestruzzo lavori in compressione, e quindi, occorre verificare che non venga tagliata dall'asse neutro.
-===== Compressione in presenza di grande eccentricità =====
-L'analisi dell'equilibrio a traslazione della sezione ci porta a riscrivere la formula già vista al paragrafo precedente
-$$\lambda  \, E_0 \, A_\alpha + \chi_y \, E_0 \, S_{\alpha,y}= N$$
-la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti.
-Conviene imporre l'equilibrio a rotazione rispetto al punto di applicazione dello sforzo normale. Chiameremo $\left( e_y, e_z \right)$ le coordinate di tale punto, ottenute tramite
-$$e_y = - \frac{M_z}{N} = 0$$
-$$e_z = - \frac{M_y}{N} = 0$$
-Sotto tali ipotesi l'equazione di equilibrio a rotazione diventa
-$$E_0 \, \lambda \, S_{y} + E_0 \, \chi_y  \, I_{yy} = 0$$
-Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere:
-  * in generale, con metodi iterativi implementati al calcolatore;
-  * nel caso di sezioni di semplice geometria, con formule chiuse.
-==== Sezione rettangolare ====
-Supponiamo $N$ $\left( N < 0 \right)$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo.
-Indicando con $x$ l'altezza della porzione di sezione reagente, le formule dell'equilibrio diventano
-$$E_0 \, \lambda \left( b \, x + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) + \chi_y \, E_0 \, \left[ b x \left( \frac{x}{2} - e_z - \frac{h}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - e_z - \frac{h}{2} \right) \right] = N$$
-Poniamo l'asse y all'altezza dell'asse neutro, di modo che $\lambda = 0$. Quindi l'equazione precedente diventa
-$$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$
-Imponiamo ora l'equilibrio a rotazione rispetto all'asse neutro
-$$E_0 \, \chi_y  \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] = M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right)$$
-Dividendo le due equazioni appena scritte, con semplici passaggi otteniamo $x$ risolvendo l'equazione
-$$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\
-\left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right] \Longrightarrow \\
-\left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2  - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\
-- \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x  + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right)  \; x  = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2  - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\
-\frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0 \Longrightarrow \\
-N \, b \, x^3 - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$
-Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l'equazione si trasforma in quella già vista nel relativo [[tecnica_costruzioni:cls:ta_flessione|paragrafo]].
-La soluzione di un equazione di terzo ordine è possibile in forma chiusa (per approfondire l'argomento vedi la relativa [[http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_di_terzo_grado|pagina di wikipedia]]).
-Per risolvere l'equazione  facciamo le posizioni
-$$a = N \, b \\
-b = - 3 \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \\
-c = 6 \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) -  \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] \\
-d = 6 \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N  \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] $$
-trasformando l'equazione nella forma
-$$a \, x^3 + b \, x^2 + c \, x + d = 0$$
-Facciamo le ulteriori posizioni
-$$p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3 a^2} $$
-$$q = \frac{d}{a} - \frac{bc}{3 a^2} + \frac{2b^3}{27 a^3} $$
-Sotto tali ipotesi il valore di $x$ cercato è dato da
-$$ x = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} } + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} }$$
-La soluzione $x$ dell'equazione, per avere significato fisico, dovrà essere $0 \le x \le h$.

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