tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione
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tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2014/05/02 20:22] mickele [Sezione rettangolare] |
tecnica_costruzioni:cls:ta_pressoflessione [2021/06/13 13:09] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Pressoflessione retta ====== | ||
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- | ===== Compressione in presenza di eccentricità piccola o nulla ===== | ||
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- | Usualmente $M_y$ ed $N$ sono riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo. | ||
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- | L' | ||
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- | $$\iint \limits_{S} \sigma_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow \iint \limits_{S} E \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N \Longrightarrow E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \varepsilon_x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = N $$ | ||
- | |||
- | Valendo il principio di conservazione delle sezioni piane, nell' | ||
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- | $$\varepsilon_x = \lambda + \chi_y \; z$$ | ||
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- | Possiamo allora riscrivere l' | ||
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- | $$E_0 \iint \limits_{S} \alpha_e \left( \lambda + \chi_y \; z \right) \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0 \Longrightarrow \lambda | ||
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- | Esprimibile anche come | ||
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- | $$\lambda | ||
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- | Lavorando in un sistema baricentrico rispetto alla sezione omogeneizzata $S_{\alpha, | ||
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- | $$\lambda | ||
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- | Analogamente imponendo l' | ||
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- | $$\iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = M^*_y \Longrightarrow | ||
- | E_0 \, \lambda \iint \limits_{S} \alpha_e | ||
- | E_0 \, \lambda \, S_{\alpha, | ||
- | \chi_y = \frac{M^*_y}{E_0 \, I_{\alpha, | ||
- | |||
- | $M^*_y$ è ottenuto traslando $N$ ed $M_y$ nel baricentro della sezione omogeneizzata. Supponendo che il sistema di riferimento di partenza sia riferito al baricentro della sola sezione in calcestruzzo, | ||
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- | $$M^*_y = M_y - N \; z_{\alpha, | ||
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- | Le tensioni saranno pari a | ||
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- | $$\sigma_z = \frac{N}{A_\alpha} + \frac{M^*_y}{I_{\alpha, | ||
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- | Quindi nel caso di piccola eccentricità valgono le formule generali della soluzione di Saint Venant, con l' | ||
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- | Occorre però definire cosa si intenda per piccola eccentricità: | ||
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- | ===== Compressione in presenza di grande eccentricità ===== | ||
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- | L' | ||
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- | $$\lambda | ||
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- | la differenza rispetto al caso precedente è che il calcestruzzo non reagisce a trazione e perciò, a priori, non è nota la geometria della sezione reagente rispetto a cui si devono calcolare i momenti. | ||
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- | Conviene imporre l' | ||
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- | $$e_y = - \frac{M_z}{N} = 0$$ | ||
- | |||
- | $$e_z = - \frac{M_y}{N} = 0$$ | ||
- | |||
- | Sotto tali ipotesi l' | ||
- | |||
- | $$E_0 \, \lambda \, S_{y} + E_0 \, \chi_y | ||
- | |||
- | Come detta in precedenza, nel caso l'asse neutro tagli la sezione il problema è individuare la geometria della sezione effettivamente reagente, posto che il calcestruzzo in zona tesa è come non fosse presente. Per definire tale sezione è possibile procedere: | ||
- | * in generale, con metodi iterativi implementati al calcolatore; | ||
- | * nel caso di sezioni di semplice geometria, con formule chiuse. | ||
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- | ==== Sezione rettangolare ==== | ||
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- | Supponiamo $N$ $\left( N < 0 \right)$ ed $M_y$ riferiti al baricentro della sezione in calcestruzzo. | ||
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- | Indicando con $x$ l' | ||
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- | $$E_0 \, \lambda \left( b \, x + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) + \chi_y \, E_0 \, \left[ b x \left( \frac{x}{2} - e_z - \frac{h}{2} \right) + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - e_z - \frac{h}{2} \right) \right] = N$$ | ||
- | |||
- | Poniamo l'asse y all' | ||
- | |||
- | $$E_0 \, \chi_y \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N$$ | ||
- | |||
- | Imponiamo ora l' | ||
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- | $$E_0 \, \chi_y | ||
- | |||
- | Dividendo le due equazioni appena scritte, con semplici passaggi otteniamo $x$ risolvendo l' | ||
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- | $$\left[ M_y + N \left( \frac{h}{2} - x \right) \right] \left[ - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right) \right] = N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \left( d_i - x \right)^2 \right] \Longrightarrow \\ | ||
- | \left( M_y + N \frac{h}{2} - N \, x \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ N \left[ \frac{1}{3} b \, x^3 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 - 2 x \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i + x^2 \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right] \Longrightarrow \\ | ||
- | \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) - N \, x \left( - \frac{1}{2} b \, x^2 + \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} d_i - x \, \alpha_e \sum \limits_i A_{sl,i} \right) = \\ \frac{1}{3} N \, b \, x^3 + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x^2 - 2 \, N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) \; x + N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \Longrightarrow \\ | ||
- | - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 - \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \; x + \alpha_e \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) + \\ \frac{1}{2} N \, b \, x^3 + N \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) x^2 - N \, \alpha_e \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) | ||
- | \frac{1}{6} N \, b \, x^3 - \frac{1}{2} \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) b \, x^2 + \alpha_e \left[ N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} \right) \right] x + \\ \alpha_e \left[ \left( M_y + N \frac{h}{2} \right) \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i \right) - N \left( \sum \limits_i A_{sl,i} d_i^2 \right) \right] = 0$$ | ||
- | |||
- | Osserviamo che, nel caso di flessione semplice $(N = 0)$, l' | ||
tecnica_costruzioni/cls/ta_pressoflessione.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)