tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Entrambe le parti precedenti la revisione Revisione precedente Prossima revisione | Revisione precedente | ||
tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2012/12/15 19:18] mickele [Analisi adimensionale della sezione a SLU] |
tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
||
---|---|---|---|
Linea 9: | Linea 9: | ||
Essendo l' | Essendo l' | ||
- | $$N_{Rd} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl}$$ | + | $$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl}$$ |
Dividiamo primo e secondo membro per $b \, d \, f_{cd}$ e introduciamo le grandezze adimensionali | Dividiamo primo e secondo membro per $b \, d \, f_{cd}$ e introduciamo le grandezze adimensionali | ||
Linea 22: | Linea 22: | ||
* sforzo normale ridotto | * sforzo normale ridotto | ||
- | $$\nu = \frac{N_Rd}{b \, d \, f_{cd}}$$ | + | $$\nu = \frac{N_Ed}{b \, d \, f_{cd}}$$ |
+ | |||
+ | La relazione che esprime l' | ||
+ | |||
+ | $$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$ | ||
Essendo l' | Essendo l' | ||
- | $$ 0 = - \beta_1 \xi + \kappa \omega$$ | + | $$ 0 = - \beta_1 |
- | $k$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3, | + | $\kappa$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3, |
$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon_s}{d - x} \Longrightarrow | $$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon_s}{d - x} \Longrightarrow | ||
Linea 39: | Linea 43: | ||
Quindi | Quindi | ||
- | $$k = | + | $$\kappa |
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
- | \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} | + | \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} |
- | 1 & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd} | + | 1 & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) |
\end{cases}$$ | \end{cases}$$ | ||
- | Possiamo allora esprimere $\omega$ | + | in cui |
- | $$ \omega = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$ | + | $$\kappa = \frac{f_{yd}}{E_S} $$ |
+ | |||
+ | Possiamo allora esprimere $\omega_0$ in funzione di $\xi$ con la relazione | ||
+ | |||
+ | $$ \omega_{0} | ||
L' | L' | ||
Linea 57: | Linea 65: | ||
* momento resistente adimensionale | * momento resistente adimensionale | ||
- | $$\mu_d = \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$ | + | $$\mu_{d,0}= \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$ |
arriviamo a scrivere | arriviamo a scrivere | ||
- | $$ \mu_{d} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$ | + | $$ \mu_{d,0} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$ |
relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$ | relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$ | ||
Linea 67: | Linea 75: | ||
Possiamo allora scrivere una tabella in cui, in funzione dell' | Possiamo allora scrivere una tabella in cui, in funzione dell' | ||
- | ^ $\xi$ ^ $\mu_d$ ^ $\kappa$ ^ $\omega$ ^ | + | ^ $\xi$ ^ $\kappa$ ^ $\mu_{d,0}$ ^ $\omega_{0}$ ^ |
- | | 0,05 | | + | | 0,05 | |
- | | 0,06 | | + | | 0,06 | |
- | | 0,07 | | + | | 0,07 | |
- | | 0,08 | | + | | 0,08 | |
- | | 0,09 | | + | | 0,09 | |
- | | 0,1 | 0, | + | | 0,10 | |
- | | 0,11 | 0, | + | | 0,11 |
- | | 0,12 | | + | | 0,12 | |
- | | 0,13 | | + | | 0,13 | |
- | | 0,14 | | + | | 0,14 | |
- | | 0,15 | | + | | 0,15 | |
- | | 0,16 | | + | | 0,16 | |
- | | 0,17 | | + | | 0,17 | |
- | | 0,18 | | + | | 0,18 | |
- | | 0,19 | 0, | + | | 0,19 |
- | | 0,2 | + | | 0,20 | 1 |
- | | 0,21 | 0, | + | | 0,21 |
- | | 0,22 | 0, | + | | 0,22 |
- | | 0,23 | | + | | 0,23 | |
- | | 0,24 | | + | | 0,24 | |
- | | 0,25 | | + | | 0,25 | |
- | | 0,26 | | + | | 0,26 | |
- | | 0,27 | | + | | 0,27 | |
- | | 0,28 | | + | | 0,28 | |
- | | 0,29 | | + | | 0,29 | |
- | | 0,3 | + | | 0,30 |
- | | 0,31 | | + | | 0,31 | |
- | | 0,32 | | + | | 0,32 | |
- | | 0,33 | | + | | 0,33 | |
- | | 0,34 | | + | | 0,34 | |
- | | 0,35 | | + | | 0,35 | |
- | | 0,36 | | + | | 0,36 | |
- | | 0,37 | | + | | 0,37 | |
- | | 0,38 | | + | | 0,38 | |
- | | 0,39 | | + | | 0,39 | |
- | | 0,4 | + | | 0,40 |
- | | 0,41 | | + | | 0,41 | |
- | | 0,42 | | + | | 0,42 | |
- | | 0,43 | | + | | 0,43 | |
- | | 0,44 | | + | | 0,44 | |
- | | 0,45 | | + | | 0,45 | |
- | | 0,46 | | + | | 0,46 | |
- | | 0,47 | 0, | + | | 0,47 |
- | | 0,48 | 0, | + | | 0,48 |
- | | 0,49 | 0, | + | | 0,49 |
- | | 0,5 | + | | 0,50 | 1 |
- | | 0,51 | 0, | + | | 0,51 |
- | | 0,52 | 0, | + | | 0,52 |
- | | 0,53 | | + | | 0,53 | |
- | | 0,54 | | + | | 0,54 | |
- | | 0,55 | | + | | 0,55 | |
- | | 0,56 | | + | | 0,56 | |
- | | 0,57 | | + | | 0,57 | |
- | | 0,58 | | + | | 0,58 | |
- | | 0,59 | | + | | 0,59 | |
- | | 0,6 | + | | 0,60 |
- | | 0,61 | | + | | 0,61 | |
- | | 0,62 | | + | | 0,62 | |
- | | 0,63 | | + | | 0,63 | |
- | | 0,64 | | + | | 0,64 | |
- | | 0,65 | 0,383920068 | + | | 0,65 | |
==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ==== | ==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ==== | ||
Linea 134: | Linea 142: | ||
=== Flessione semplice === | === Flessione semplice === | ||
- | In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d, | + | In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d,0,lim} = 0,296$ e $\omega_{0,lim} = 0, |
+ | |||
+ | Con tali valori possiamo procedere al dimensionamento della nostra sezione, imponendo | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{d, | ||
=== Pressoflessione contenuta === | === Pressoflessione contenuta === | ||
+ | |||
+ | Nel caso la sezione sia soggetta ad un debole sforzo normale (con debole intendiamo che a SLU l'asse neutro continua a tagliare la sezione), ricollochiamo lo sforzo normale ed il momento nel baricentro dell' | ||
+ | |||
+ | Nel caso $M_{Ed}$ sia stato riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, | ||
+ | |||
+ | $$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | Dimensioniamo la sezione in cls imponendo | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{d, | ||
+ | |||
+ | Dovremo sommare all' | ||
+ | |||
+ | Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente | ||
+ | |||
+ | $$\nu = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$ | ||
+ | |||
+ | Imponendo l' | ||
+ | |||
+ | $$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$ | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | |||
+ | $$\omega = \omega_{0, | ||
===== Sezione doppiamente armata ===== | ===== Sezione doppiamente armata ===== | ||
+ | |||
+ | $$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl} - \sigma' | ||
+ | |||
+ | * percentuale meccanica di armatura compressa | ||
+ | $$\omega' | ||
+ | |||
+ | * rapporto di tensione dell' | ||
+ | $$\kappa' | ||
+ | |||
+ | * copriferro adimensionale dell' | ||
+ | $$\delta = \frac{d' | ||
+ | La relazione che esprime l' | ||
+ | |||
+ | $$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega - \kappa' | ||
+ | |||
+ | Anche in questo caso $\kappa' | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon' | ||
+ | \epsilon' | ||
+ | |||
+ | da cui | ||
+ | |||
+ | $$\epsilon' | ||
+ | |||
+ | Quindi | ||
+ | |||
+ | $$\kappa' | ||
+ | \begin{cases} | ||
+ | \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} | ||
+ | 1 & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd} | ||
+ | \end{cases}$$ | ||
+ | |||
+ | L' | ||
$$\mu_d = \beta_1 \xi \left( 1 - \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega '$$ | $$\mu_d = \beta_1 \xi \left( 1 - \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega '$$ | ||
+ | ==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ==== | ||
+ | |||
+ | === Flessione semplice === | ||
+ | |||
+ | Calcoliamo il momento agente ridotto | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{d} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$ | ||
+ | |||
+ | Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. semplicemente armata con armatura $\omega_{0, | ||
+ | |||
+ | In formule scriveremo | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{d} = \mu_{d, | ||
+ | |||
+ | Con la quale possiamo calcolare l' | ||
+ | |||
+ | $$\omega' | ||
+ | |||
+ | Determinata $\omega '$, calcoliamo $\Delta \omega$ osservando che, per garantire l' | ||
+ | |||
+ | $$\kappa \Delta \omega = \kappa ' \omega' | ||
+ | \Longrightarrow | ||
+ | \Delta \omega = \frac{\kappa ' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | === Pressoflessione contenuta === | ||
+ | |||
+ | Anche per la sezione doppiamente armata in presenza di un debole sforzo normale procediamo a ricollocare lo sforzo normale ed il momento all' | ||
+ | |||
+ | Sempre nell' | ||
+ | |||
+ | $$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$ | ||
+ | |||
+ | cui assoceremo il momento ridotto | ||
+ | |||
+ | $$\mu^*_{d} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Per l' | ||
+ | |||
+ | $$M^*_{Ed} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 x\right) + \left( d - d' \right) \sigma' | ||
+ | |||
+ | Analogamente a quanto visto sopra, assorbiremo tale momento sommando due sezioni: una sezione in c.a. semplicemente armata con aramtua $\omega_0$ ed una sezione composta da due armature, una compressa $\omega' | ||
+ | |||
+ | Adimensionalmente scriviamo | ||
+ | |||
+ | $$\mu_d = \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega' | ||
+ | |||
+ | $$\beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$$ sarà assorbito dalla sezione semplicemente armata, secondo quanto visto sopra. La differenza $\mu_d - \mu_{d, | ||
+ | |||
+ | $$\omega' | ||
+ | |||
+ | Dovremo aggiungere infine un ulteriore armatura in zona tesa per assorbire lo sforzo normale ricollocatovi | ||
+ | |||
+ | Imponendo l' | ||
+ | |||
+ | $$\nu = \kappa \Delta \omega_2 \Longrightarrow \Delta \omega_2 = \frac{\nu}{\kappa}$$ | ||
+ | |||
+ | L' | ||
+ | $$\omega = \omega_{0, |
tecnica_costruzioni/cls/sl_dimensionamento_travi_slu.1355595525.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)