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tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu

Dimensionamento di elementi inflessi a Stato Limite Ultimo

Sezione semplicemente armata

Analisi adimensionale della sezione a SLU

Consideriamo una sezione rettangolare di base $b$ e altezza utile $d$, con un armatura $A_{sl}$ disposta inferiormente.

Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione,

$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl}$$

Dividiamo primo e secondo membro per $b \, d \, f_{cd}$ e introduciamo le grandezze adimensionali

  • altezza adimensionale dell'asse neutro

$$\xi = \frac{x}{d}$$

  • percentuale meccanica di armatura

$$\omega = \frac{A_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$

$$\kappa = \frac{\sigma_s}{f_{yd}}$$

  • sforzo normale ridotto

$$\nu = \frac{N_Ed}{b \, d \, f_{cd}}$$

La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa

$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$

Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione, l'equazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa

$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$

$\kappa$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3,

$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon_s}{d - x} \Longrightarrow \epsilon_s = \left( \frac{d}{x} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$

da cui

$$\epsilon_s = \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$

Quindi

$$\kappa = \begin{cases} \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \le \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\ 1 & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) > \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \end{cases}$$

in cui

$$\kappa = \frac{f_{yd}}{E_S} $$

Possiamo allora esprimere $\omega_0$ in funzione di $\xi$ con la relazione

$$ \omega_{0} = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$

L'equilibrio a rotazione ci permette di scrivere

$$ M_{Rd} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 \, x \right)$$

Dividendo anche stavola per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo la grandezza adimensionale

  • momento resistente adimensionale

$$\mu_{d,0}= \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$

arriviamo a scrivere

$$ \mu_{d,0} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$

relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$

Possiamo allora scrivere una tabella in cui, in funzione dell'altezza utile adimensionale $\xi$, abbiamo i corrispondenti valori della percentuale meccanica di armatura $\omega$ e del momento resistente adimensionale $\mu_d$

$\xi$ $\kappa$ $\mu_{d,0}$ $\omega_{0}$
0,05 1 0,0396343537 0,0404761905
0,06 1 0,0473591837 0,0485714286
0,07 1 0,0550166667 0,0566666667
0,08 1 0,0626068027 0,0647619048
0,09 1 0,0701295918 0,0728571429
0,10 1 0,077585034 0,080952381
0,11 1 0,0849731293 0,089047619
0,12 1 0,0922938776 0,0971428571
0,13 1 0,0995472789 0,1052380952
0,14 1 0,1067333333 0,1133333333
0,15 1 0,1138520408 0,1214285714
0,16 1 0,1209034014 0,1295238095
0,17 1 0,127887415 0,1376190476
0,18 1 0,1348040816 0,1457142857
0,19 1 0,1416534014 0,1538095238
0,20 1 0,1484353741 0,1619047619
0,21 1 0,15515 0,17
0,22 1 0,1617972789 0,1780952381
0,23 1 0,1683772109 0,1861904762
0,24 1 0,1748897959 0,1942857143
0,25 1 0,181335034 0,2023809524
0,26 1 0,1877129252 0,2104761905
0,27 1 0,1940234694 0,2185714286
0,28 1 0,2002666667 0,2266666667
0,29 1 0,206442517 0,2347619048
0,30 1 0,2125510204 0,2428571429
0,31 1 0,2185921769 0,250952381
0,32 1 0,2245659864 0,259047619
0,33 1 0,230472449 0,2671428571
0,34 1 0,2363115646 0,2752380952
0,35 1 0,2420833333 0,2833333333
0,36 1 0,2477877551 0,2914285714
0,37 1 0,2534248299 0,2995238095
0,38 1 0,2589945578 0,3076190476
0,39 1 0,2644969388 0,3157142857
0,40 1 0,2699319728 0,3238095238
0,41 1 0,2752996599 0,3319047619
0,42 1 0,2806 0,34
0,43 1 0,2858329932 0,3480952381
0,44 1 0,2909986395 0,3561904762
0,45 1 0,2960969388 0,3642857143
0,46 1 0,3011278912 0,3723809524
0,47 1 0,3060914966 0,3804761905
0,48 1 0,3109877551 0,3885714286
0,49 1 0,3158166667 0,3966666667
0,50 1 0,3205782313 0,4047619048
0,51 1 0,325272449 0,4128571429
0,52 1 0,3298993197 0,420952381
0,53 1 0,3344588435 0,429047619
0,54 1 0,3389510204 0,4371428571
0,55 1 0,3433758503 0,4452380952
0,56 1 0,3477333333 0,4533333333
0,57 1 0,3520234694 0,4614285714
0,58 1 0,3562462585 0,4695238095
0,59 1 0,3604017007 0,4776190476
0,60 1 0,3644897959 0,4857142857
0,61 1 0,3685105442 0,4938095238
0,62 1 0,3724639456 0,5019047619
0,63 1 0,37635 0,51
0,64 1 0,3801687075 0,5180952381
0,65 0,9632478632 0,383920068 0,546266954

Formule di progetto in caso di flessione semplice

Flessione semplice

In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d,0,lim} = 0,296$ e $\omega_{0,lim} = 0,364$.

Con tali valori possiamo procedere al dimensionamento della nostra sezione, imponendo

$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$

Pressoflessione contenuta

Nel caso la sezione sia soggetta ad un debole sforzo normale (con debole intendiamo che a SLU l'asse neutro continua a tagliare la sezione), ricollochiamo lo sforzo normale ed il momento nel baricentro dell'armatura tesa: $N_{Ed}$ rimarrà invariato, $M_{Ed}$ cambierà.

Nel caso $M_{Ed}$ sia stato riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo

$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$

Dimensioniamo la sezione in cls imponendo

$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$

Dovremo sommare all'armatura $\omega_{0,lim}$ corrispondente a $\mu_{d,0,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.

Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente

$$\nu = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$

Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo

$$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$

L'armatura della sezione sarà quindi

$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega $$

Sezione doppiamente armata

$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl} - \sigma'_s \, A'_{sl} $$

  • percentuale meccanica di armatura compressa

$$\omega' = \frac{A'_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$

  • rapporto di tensione dell'armatura compressa

$$\kappa' = \frac{\sigma'_s}{f_{yd}}$$

  • copriferro adimensionale dell'armatura compressa

$$\delta = \frac{d'}{d} $$ La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa

$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega - \kappa' \, \omega'$$

Anche in questo caso $\kappa'$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti, se siamo nel campo 3,

$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon'_s}{x - d'} \Longrightarrow \epsilon'_s = \left( 1 - \frac{d'}{x} \right)\varepsilon_{cu2}$$

da cui

$$\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2}$$

Quindi

$$\kappa' = \begin{cases} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\ 1 & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd} \end{cases}$$

L'analisi dell'equilibrio a rotazione calcoato rispetto al baricentro dell'armatura tesa ci permette di scrivere

$$\mu_d = \beta_1 \xi \left( 1 - \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega '$$

Formule di progetto in caso di flessione semplice

Flessione semplice

Calcoliamo il momento agente ridotto

$$\mu_{d} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$

Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. semplicemente armata con armatura $\omega_{0,lim}$ in zona tesa. La quota rimanente sarà assobita da una sezione ideale costituita da un'armatura tesa $\Delta \omega$ ed una compressa $\omega '$.

In formule scriveremo

$$\mu_{d} = \mu_{d,0,lim} + \left( 1 - \delta \right) \kappa' \omega'$$

Con la quale possiamo calcolare l'armatura compressa

$$\omega' = \frac{ \mu_{d} - \mu_{d,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa'} $$

Determinata $\omega '$, calcoliamo $\Delta \omega$ osservando che, per garantire l'equilibrio a traslazione della sezione finale

$$\kappa \Delta \omega = \kappa ' \omega' \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\kappa '}{\kappa} \omega'$$

Pressoflessione contenuta

Anche per la sezione doppiamente armata in presenza di un debole sforzo normale procediamo a ricollocare lo sforzo normale ed il momento all'altezza dell'armatura tesa.

Sempre nell'ipotesi che $M_{Ed}$ sia riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo

$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$

cui assoceremo il momento ridotto

$$\mu^*_{d} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$

Per l'equilibrio a rotazione avremo

$$M^*_{Ed} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 x\right) + \left( d - d' \right) \sigma'_s \, A'_{sl}$$

Analogamente a quanto visto sopra, assorbiremo tale momento sommando due sezioni: una sezione in c.a. semplicemente armata con aramtua $\omega_0$ ed una sezione composta da due armature, una compressa $\omega'$ ed una tesa $\Delta omega_1$.

Adimensionalmente scriviamo

$$\mu_d = \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega'$$

$$\beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$$ sarà assorbito dalla sezione semplicemente armata, secondo quanto visto sopra. La differenza $\mu_d - \mu_{d,0,lim}$ sarà assorbita dalla sezione fittizia composta dalle due armature

$$\omega' = \frac{\mu_d - \mu_{d,0,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa ' } $$

Dovremo aggiungere infine un ulteriore armatura in zona tesa per assorbire lo sforzo normale ricollocatovi

Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo

$$\nu = \kappa \Delta \omega_2 \Longrightarrow \Delta \omega_2 = \frac{\nu}{\kappa}$$

L'armatura finale della sezione in zona tesa sarà data dalla somma

$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega_1 + \Delta \omega_2$$


tecnica_costruzioni/cls/sl_dimensionamento_travi_slu.txt · Ultima modifica: 2013/06/20 16:44 da mickele

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