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--- tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2012/12/15 23:33]
mickele [Formule di progetto in caso di flessione semplice]
+++ tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi_slu [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Dimensionamento di elementi inflessi a Stato Limite Ultimo ======
-===== Sezione semplicemente armata =====
-==== Analisi adimensionale della sezione a SLU ====
-Consideriamo una sezione rettangolare di base $b$ e altezza utile $d$, con un armatura $A_{sl}$ disposta inferiormente.
-Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione,
-$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl}$$
-Dividiamo primo e secondo membro per $b \, d \, f_{cd}$ e introduciamo le grandezze adimensionali
-  * altezza adimensionale dell'asse neutro
-$$\xi = \frac{x}{d}$$
-  * percentuale meccanica di armatura
-$$\omega = \frac{A_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-$$\kappa = \frac{\sigma_s}{f_{yd}}$$
-  * sforzo normale ridotto
-$$\nu = \frac{N_Ed}{b \, d \, f_{cd}}$$
-La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
-$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
-Essendo l'elemento da progettare soggetto a sola flessione, l'equazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
-$$ 0 = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega_{0}$$
-$\kappa$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti se siamo nel campo 3,
-$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon_s}{d - x} \Longrightarrow
-\epsilon_s = \left( \frac{d}{x} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$
-da cui
-$$\epsilon_s = \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right)\varepsilon_{cu2}$$
-Quindi
-$$\kappa =
-\begin{cases}
-\left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) \le \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\
-& \left( \frac{1}{\xi} - 1 \right) > \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}}
-\end{cases}$$
-in cui
-$$\kappa = \frac{f_{yd}}{E_S} $$
-Possiamo allora esprimere $\omega_0$ in funzione di $\xi$ con la relazione
-$$ \omega_{0} = \frac{\beta_1 \xi}{\kappa} $$
-L'equilibrio a rotazione ci permette di scrivere
-$$ M_{Rd} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 \, x \right)$$
-Dividendo anche stavola per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo la grandezza adimensionale
-  * momento resistente adimensionale
-$$\mu_{d,0}= \frac{M_{Rd}}{b d^2 f_{cd}}$$
-arriviamo a scrivere
-$$ \mu_{d,0} = \beta_1 \xi \left( 1 - \beta_2 \, \xi \right)$$
-relazione che lega $\mu_{d}$ a $\xi$
-Possiamo allora scrivere una tabella in cui, in funzione dell'altezza utile adimensionale $\xi$, abbiamo i corrispondenti valori della percentuale meccanica di armatura $\omega$ e del momento resistente adimensionale $\mu_d$
-^  $\xi$  ^  $\kappa$  ^  $\mu_{d,0}$  ^  $\omega_{0}$  ^
-|  0,05  |  1  |  0,0396343537  |  0,0404761905  |
-|  0,06  |  1  |  0,0473591837  |  0,0485714286  |
-|  0,07  |  1  |  0,0550166667  |  0,0566666667  |
-|  0,08  |  1  |  0,0626068027  |  0,0647619048  |
-|  0,09  |  1  |  0,0701295918  |  0,0728571429  |
-|  0,10  |  1  |  0,077585034  |  0,080952381  |
-|  0,11  |  1  |  0,0849731293  |  0,089047619  |
-|  0,12  |  1  |  0,0922938776  |  0,0971428571  |
-|  0,13  |  1  |  0,0995472789  |  0,1052380952  |
-|  0,14  |  1  |  0,1067333333  |  0,1133333333  |
-|  0,15  |  1  |  0,1138520408  |  0,1214285714  |
-|  0,16  |  1  |  0,1209034014  |  0,1295238095  |
-|  0,17  |  1  |  0,127887415  |  0,1376190476  |
-|  0,18  |  1  |  0,1348040816  |  0,1457142857  |
-|  0,19  |  1  |  0,1416534014  |  0,1538095238  |
-|  0,20  |  1  |  0,1484353741  |  0,1619047619  |
-|  0,21  |  1  |  0,15515  |  0,17  |
-|  0,22  |  1  |  0,1617972789  |  0,1780952381  |
-|  0,23  |  1  |  0,1683772109  |  0,1861904762  |
-|  0,24  |  1  |  0,1748897959  |  0,1942857143  |
-|  0,25  |  1  |  0,181335034  |  0,2023809524  |
-|  0,26  |  1  |  0,1877129252  |  0,2104761905  |
-|  0,27  |  1  |  0,1940234694  |  0,2185714286  |
-|  0,28  |  1  |  0,2002666667  |  0,2266666667  |
-|  0,29  |  1  |  0,206442517  |  0,2347619048  |
-|  0,30  |  1  |  0,2125510204  |  0,2428571429  |
-|  0,31  |  1  |  0,2185921769  |  0,250952381  |
-|  0,32  |  1  |  0,2245659864  |  0,259047619  |
-|  0,33  |  1  |  0,230472449  |  0,2671428571  |
-|  0,34  |  1  |  0,2363115646  |  0,2752380952  |
-|  0,35  |  1  |  0,2420833333  |  0,2833333333  |
-|  0,36  |  1  |  0,2477877551  |  0,2914285714  |
-|  0,37  |  1  |  0,2534248299  |  0,2995238095  |
-|  0,38  |  1  |  0,2589945578  |  0,3076190476  |
-|  0,39  |  1  |  0,2644969388  |  0,3157142857  |
-|  0,40  |  1  |  0,2699319728  |  0,3238095238  |
-|  0,41  |  1  |  0,2752996599  |  0,3319047619  |
-|  0,42  |  1  |  0,2806  |  0,34  |
-|  0,43  |  1  |  0,2858329932  |  0,3480952381  |
-|  0,44  |  1  |  0,2909986395  |  0,3561904762  |
-|  0,45  |  1  |  0,2960969388  |  0,3642857143  |
-|  0,46  |  1  |  0,3011278912  |  0,3723809524  |
-|  0,47  |  1  |  0,3060914966  |  0,3804761905  |
-|  0,48  |  1  |  0,3109877551  |  0,3885714286  |
-|  0,49  |  1  |  0,3158166667  |  0,3966666667  |
-|  0,50  |  1  |  0,3205782313  |  0,4047619048  |
-|  0,51  |  1  |  0,325272449  |  0,4128571429  |
-|  0,52  |  1  |  0,3298993197  |  0,420952381  |
-|  0,53  |  1  |  0,3344588435  |  0,429047619  |
-|  0,54  |  1  |  0,3389510204  |  0,4371428571  |
-|  0,55  |  1  |  0,3433758503  |  0,4452380952  |
-|  0,56  |  1  |  0,3477333333  |  0,4533333333  |
-|  0,57  |  1  |  0,3520234694  |  0,4614285714  |
-|  0,58  |  1  |  0,3562462585  |  0,4695238095  |
-|  0,59  |  1  |  0,3604017007  |  0,4776190476  |
-|  0,60  |  1  |  0,3644897959  |  0,4857142857  |
-|  0,61  |  1  |  0,3685105442  |  0,4938095238  |
-|  0,62  |  1  |  0,3724639456  |  0,5019047619  |
-|  0,63  |  1  |  0,37635  |  0,51  |
-|  0,64  |  1  |  0,3801687075  |  0,5180952381  |
-|  0,65  |   0,9632478632  |  0,383920068  |   0,546266954  |
-==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ====
-=== Flessione semplice ===
-In fase di dimensionamento fissiamo un valore di $\xi$. Per garantire un comportamento duttile dovremo avere $\xi \le 0,45$. Imponendo $\xi = 0,45$ abbiamo $\mu_{d,0,lim} = 0,296$ e $\omega_{0,lim} = 0,364$.
-Con tali valori possiamo procedere al dimensionamento della nostra sezione, imponendo
-$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
-=== Pressoflessione contenuta ===
-Nel caso la sezione sia soggetta ad un debole sforzo normale (con debole intendiamo che a SLU l'asse neutro continua a tagliare la sezione), ricollochiamo lo sforzo normale ed il momento nel baricentro dell'armatura tesa: $N_{Ed}$ rimarrà invariato, $M_{Ed}$ cambierà.
-Nel caso $M_{Ed}$ sia stato riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo
-$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$
-Dimensioniamo la sezione in cls imponendo
-$$\mu_{d,0,lim} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
-Dovremo sommare all'armatura $\omega_{0,lim}$ corrispondente a $\mu_{d,0,lim}$, l'armatura $\Delta \omega$ necessaria per assorbire lo sforzo normale.
-Per determinare $\Delta \omega$ calcoliamo lo sforzo normale ridotto usando il valore dello sforzo normale agente
-$$\nu = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo
-$$\nu = \kappa \Delta \omega \Longrightarrow \Delta \omega = \frac{\nu}{\kappa}$$
-L'armatura della sezione sarà quindi
-$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega $$
-===== Sezione doppiamente armata =====
-$$N_{Ed} = - \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} + \sigma_s \, A_{sl} - \sigma'_s \, A'_{sl} $$
-  * percentuale meccanica di armatura compressa
-$$\omega' = \frac{A'_{sl} \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-  * rapporto di tensione dell'armatura compressa
-$$\kappa' = \frac{\sigma'_s}{f_{yd}}$$
-  * copriferro adimensionale dell'armatura compressa
-  $$\delta = \frac{d'}{d} $$
-La relazione che esprime l'equilibrio a traslazione diventa
-$$\nu = - \beta_1 \, \xi + \kappa \, \omega - \kappa' \, \omega'$$
-Anche in questo caso $\kappa'$ può essere espresso in funzione di $\xi$. Infatti, se siamo nel campo 3,
-$$ \frac{\varepsilon_{cu2}}{x} = \frac{\varepsilon'_s}{x - d'} \Longrightarrow
-\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{d'}{x} \right)\varepsilon_{cu2}$$
-da cui
-$$\epsilon'_s = \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2}$$
-Quindi
-$$\kappa' =
-\begin{cases}
-\left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right) \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}}  & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} \le \varepsilon_{yd} \\\\
-& \left( 1 - \frac{\delta}{\xi} \right)\varepsilon_{cu2} > \varepsilon_{yd}
-\end{cases}$$
-L'analisi dell'equilibrio a rotazione calcoato rispetto al baricentro dell'armatura tesa ci permette di scrivere
-$$\mu_d = \beta_1 \xi \left( 1 - \xi \right) +  \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega '$$
-==== Formule di progetto in caso di flessione semplice ====
-=== Flessione semplice ===
-Calcoliamo il momento agente ridotto
-$$\mu_{d} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
-Una quota di tale momento sarà assorbita da una sezione in c.a. semplicemente armata con armatura $\omega_{0,lim}$ in zona tesa. La quota rimanente sarà assobita da una sezione ideale costituita da un'armatura tesa $\Delta omega$ ed una compressa $\omega '$.
-In formule scriveremo
-$$\mu_{d} = \mu_{d,0,lim} + \left( 1 - \delta \right) \kappa' \omega'$$
-Con la quale possiamo calcolare l'armatura compressa
-$$\omega' = \frac{ \mu_{d} - \mu_{d,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa'} $$
-Determinata $\omega '$, calcoliamo $\Delta omega$ osservando che, per garantire l'equilibrio a traslazione della sezione finale
-$$\kappa \Delta \omega = \kappa ' \omega'
-\Longrightarrow
-\Delta \omega = \frac{\kappa '}{\kappa} \omega'$$
-=== Pressoflessione contenuta ===
-Anche per la sezione doppiamente armata in presenza di un debole sforzo normale procediamo a ricollocare lo sforzo normale ed il momento all'altezza dell'armatura tesa.
-Sempre nell'ipotesi che $M_{Ed}$ sia riferito al baricentro della sezione in calcestruzzo, avremo
-$$M^*_{Ed} = M_{Ed} - N_{Ed} \left( d - \frac{h}{2} \right)$$
-cui assiceremo il momento ridotto
-$$\mu^*_{d} = \frac{M^*_{Ed}}{ b \, d^2 \, f_{cd}} $$
-Per l'equilibrio a rotazione avremo
-$$M^*_{Ed} = \beta_1 \, b \, x \, f_{cd} \left( d - \beta_2 x\right) + \left( d - d' \right) \sigma'_s \, A'_{sl}$$
-Analogamente a quanto visto sopra, assorbiremo tale momento sommando due sezioni: una sezione in c.a. semplicemente armata con aramtua $\omega_0$ ed una sezione composta da due armature, una compressa $\omega'$ ed una tesa $\Delta omega_1$.
-Adimensionalmente scriviamo
-$$\mu_d = \beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right) + \left( 1 - \delta \right) \kappa ' \omega'$$
-$$\beta_1 \, \xi \left( 1 - \beta_2 \xi \right)$$ sarà assorbito dalla sezione semplicemente armata, secondo quanto visto sopra. La differenza $\mu_d - \mu_{d,0,lim}$ sarà assorbita dalla sezione fittizia composta dalle due armature
-$$\omega' = \frac{\mu_d - \mu_{d,0,lim}}{\left( 1 - \delta \right) \kappa ' } $$
-Dovremo aggiungere infine un ulteriore armatura in zona tesa per assorbire lo sforzo normale ricollocatovi
-Imponendo l'equilibrio a traslazione, troviamo
-$$\nu = \kappa \Delta \omega_2 \Longrightarrow \Delta \omega_2 = \frac{\nu}{\kappa}$$
-L'armatura finale della sezione in zona tesa sarà data dalla somma
-$$\omega = \omega_{0,lim} + \Delta \omega_1  + \Delta \omega_2$$

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