tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi
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tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2013/07/10 17:54] mickele [Notazioni] |
tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Dimensionamento di elementi inflessi ====== | ====== Dimensionamento di elementi inflessi ====== | ||
- | ===== Stato Limite Ultimo ===== | + | Nel seguito analizzeremo alcuni strumenti utili per la progettazione di sezioni rettangolari in c.a. di travi inflesse. |
- | ==== Notazioni ==== | + | Per comodità di trattazione introduciamo le seguenti grandezze adimensionali: |
- | Per affrontare il dimensionamento | + | ^ Simbolo |
+ | | $\xi_u = \frac{x_u}{d} $ | Profondità relativa asse neutro allo SLU | | ||
+ | | $\nu_d = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
+ | | $\mu_d = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ | ||
+ | | $\mu_{d,0} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ | ||
+ | | $\omega = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
+ | | $\omega_0 = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
+ | | $\delta=\frac{d' | ||
+ | | $\omega' | ||
+ | | $k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $ | Tensione ridotta armatura tesa allo SLU | | ||
+ | | $k' = - \frac{\sigma' | ||
+ | | $\alpha_s = \frac{A' | ||
+ | | $\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $ | Profondità relativa asse neutro allo SLE | | ||
+ | | $\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $ | Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE | | ||
+ | | $\eta = \frac{h}{d} > 1 $ | Altezza ridotta della sezione | ||
+ | | $\rho = \frac{A_s}{b \, h}$ | Rapporto geometrico dell' | ||
+ | | $\rho' = \frac{A' | ||
+ | | $\rho_d = \frac{A_s}{b \, d} = \rho \; \eta$ | Rapporto geometrico dell' | ||
+ | | $\rho_d' | ||
- | * Distanza ridotta dell' | ||
- | $$\delta = \frac{d' | ||
- | * Rapporto meccanico dell' | + | ===== Stato Limite Ultimo |
- | $$\omega | + | |
- | + | ||
- | * Rapporto meccanico dell' | + | |
- | $$\omega' | + | |
- | + | ||
- | * Rapporto delle aree delle armature | + | |
- | $$\alpha_s | + | |
- | + | ||
- | * Profondità relativa asse neutro allo SLU | + | |
- | $$\xi_u | + | |
- | + | ||
- | * Sforzo normale ridotto allo SLU | + | |
- | $$\nu_d | + | |
- | + | ||
- | * Momento flettente ridotto allo SLU | + | |
- | $$\mu_d | + | |
- | + | ||
- | * Rapporto tensione armatura tesa allo SLU | + | |
- | $$k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $$ | + | |
- | + | ||
- | * Rapporto tensione armatura compressa allo SLU | + | |
- | $$k' | + | |
- | + | ||
- | * Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE | + | |
- | $$\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $$ | + | |
- | + | ||
- | * Profondità relativa asse neutro allo SLE | + | |
- | $$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $$ | + | |
- | + | ||
- | * Altezza ridotta della sezione | + | |
- | $$\eta = \frac{h}{d} > 1 $$ | + | |
- | + | ||
- | * Rapporto geometrico dell' | + | |
- | $$\rho = \frac{A_s}{b \, h}$$ | + | |
- | * Rapporto geometrico dell' | ||
- | $$\rho' | ||
==== Flessione retta ==== | ==== Flessione retta ==== | ||
Linea 82: | Linea 62: | ||
che diventa | che diventa | ||
- | $$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$ | + | $$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 |
Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell' | Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell' | ||
Linea 191: | Linea 171: | ||
==== Pressoflessione ==== | ==== Pressoflessione ==== | ||
- | Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche alla pressoflessione, con alcune accortezze. Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, | + | Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche in presenza di sforzo normale di lieve entità, o, per essere più precisi, in presenza di eccentricità significative del carico agente. |
+ | |||
+ | Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, | ||
Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l' | Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l' | ||
Linea 199: | Linea 181: | ||
Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$ | Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$ | ||
- | $$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{h}{2 \, d} \right) $$ | + | $$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{\eta}{2} \right) $$ |
A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l' | A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l' | ||
Linea 205: | Linea 187: | ||
$$ A_{s,min} = A_{s, | $$ A_{s,min} = A_{s, | ||
- | esprimibile anche nella forma | + | che in forma adimensionale diventa |
$$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$ | $$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$ | ||
Linea 272: | Linea 254: | ||
$$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} | $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} | ||
- | Per quanto riguardo la verifica a deformazione, | ||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} | + | === Verifica deformazione === |
- | da cui | + | Per quanto riguardo la verifica a deformazione, |
+ | |||
+ | $$\frac{l_n}{d} = \frac{l}{K} \frac{1}{d} \le \left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
+ | |||
+ | esprimibile anche nella forma | ||
$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | che diventa | + | Ricavando il rapporto $\sigma_s / f_{yk}$ dalla formula vista sopra possiamo scrivere |
$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
Linea 296: | Linea 281: | ||
Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo | Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo | ||
- | $$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$ | + | $$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho_d \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho_d' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$ |
Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo | Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo | ||
- | $$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e | + | $$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e |
e | e | ||
- | $$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) | + | $$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) |
Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo | Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo | ||
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e | + | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e |
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s | + | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s |
Per la verifica a deformazione abbiamo invece | Per la verifica a deformazione abbiamo invece | ||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | + | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho_d (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho_d' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, |
+ | |||
+ | |||
+ | ==== Valori ammissibili della profondità relativa dell' | ||
+ | |||
+ | In zona sismica la normativa impone | ||
+ | |||
+ | $$\frac{1, | ||
+ | |||
+ | (vedi [[tecnica_costruzioni: | ||
+ | |||
+ | Abbiamo visto che | ||
+ | |||
+ | $$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
+ | |||
+ | Possiamo esprimere $\omega$ nella forma | ||
+ | |||
+ | $$\omega = \frac{A_s f_{yd}}{b \; d \; f_{cd}} = \rho_d \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}} = \rho \; \eta \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}}$$ | ||
+ | |||
+ | da cui ci è possibile ricavare $\rho$ in funzione di $\omega$ | ||
+ | |||
+ | $$\rho = \omega \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$ | ||
+ | |||
+ | e, a seguire, $\rho$ in funzione di $\xi_u$ | ||
+ | |||
+ | $$\rho = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
+ | |||
+ | Introducendo il rapporto delle aree delle armature $\alpha_s$ possiamo ricavarci la percentuale geomtrica dell' | ||
+ | |||
+ | $$\rho' | ||
+ | |||
+ | Sostituendo le ultime due nella formula di normativa relativa alla limitazione delle armature, otteniamo | ||
+ | |||
+ | $$\frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
+ | |||
+ | $$\rho < \alpha_s \; \rho + \frac{3, | ||
+ | |||
+ | Con alcuni semplici passaggi matematici otteniamo | ||
+ | $$1,4 \; \eta \frac{ \kappa - \kappa' | ||
==== Predimensionamento ==== | ==== Predimensionamento ==== | ||
Linea 323: | Linea 346: | ||
- fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto) | - fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto) | ||
- analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$ | - analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$ | ||
- | - fissiamo | + | - fissiamo $\xi_{u, |
+ | - rimane da fissare una valore per $\alpha_s$; se siamo in zona sismica, dovremo disporre un armatura in zona compressa pari al 25% dell' | ||
+ | - in corrispondenza | ||
* $\mu_{d, | * $\mu_{d, | ||
* $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, | * $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, | ||
* ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ | * ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ | ||
- determiniamo l' | - determiniamo l' | ||
- | - a questo punto abbiamo due possibilità | + | - abbiamo |
- | * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione | + | * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione |
* $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, | * $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, | ||
- | * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$ | + | * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$ |
* $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, | * $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, | ||
* $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, | * $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, |
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