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tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi

Dimensionamento di elementi inflessi

Nel seguito analizzeremo alcuni strumenti utili per la progettazione di sezioni rettangolari in c.a. di travi inflesse.

Per comodità di trattazione introduciamo le seguenti grandezze adimensionali:

Simbolo Denominazione
$\xi_u = \frac{x_u}{d} $ Profondità relativa asse neutro allo SLU
$\nu_d = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$ Sforzo normale ridotto allo SLU
$\mu_d = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ Momento flettente ridotto allo SLU
$\mu_{d,0} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ Momento flettente ridotto allo SLU di una sezione semplicemente armata
$\omega = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ Rapporto meccanico dell'armatura tesa
$\omega_0 = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ Rapporto meccanico dell'armatura tesa di una sezione semplicemente armata
$\delta=\frac{d'}{d}$ Distanza ridotta dell'armatura compressa dal lembo superiore compresso
$\omega' = \frac{A'_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ Rapporto meccanico dell'armatura compressa
$k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $ Tensione ridotta armatura tesa allo SLU
$k' = - \frac{\sigma'_s}{f_{yd}}$ Tensione ridotta armatura compressa allo SLU
$\alpha_s = \frac{A'_s}{A_s} = \frac{\rho'}{\rho} = \frac{\omega'}{\omega}$ Rapporto delle aree delle armature
$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $ Profondità relativa asse neutro allo SLE
$\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $ Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE
$\eta = \frac{h}{d} > 1 $ Altezza ridotta della sezione
$\rho = \frac{A_s}{b \, h}$ Rapporto geometrico dell'armatura tesa
$\rho' = \frac{A'_s}{b \, h}$ Rapporto geometrico dell'armatura compressa
$\rho_d = \frac{A_s}{b \, d} = \rho \; \eta$ Rapporto geometrico dell'armatura tesa, riferito all'altezza utile
$\rho_d' = \frac{A'_s}{b \, d} = \rho' \; \eta$ Rapporto geometrico dell'armatura compressa, riferito all'altezza utile

Stato Limite Ultimo

Flessione retta

Armatura semplice

La nostra sezione è soggetta a flessione pura, pertanto

$$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$

Sotto tali ipotesi, in assenza di armatura compressa,

$$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s$$

dividendo per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo $\kappa$ possiamo scrivere

$$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega_0$$

da cui

$$\xi_u = \kappa \frac{\omega_0}{\beta_1}$$

Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all'armatura tesa, ottenendo

$$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)$$

che passando alle grandezze ridotte diventa

$$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$

Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo

$$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x)$$

che diventa

$$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$

Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell'armatura tesa. Con osservazioni di tipo geometrico, ricordando che lo stato deformativo analizzato si trova nel campo 3, troviamo

$$ \varepsilon_s = \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) $$

da cui infine

$$\kappa = \begin{cases} \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) & \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} } \\\\ 1 & \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \end{cases} $$

in cui

$$\varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}$$

Ai fini del dimensionamento di una sezione, le formule di interesse pratico sono

$$\omega_0 = \frac{\beta_1}{\kappa} \xi_u$$

$$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$

Dovendo invece calcolare la percentuale meccanica di armatura noto $\mu_d$ ricorriamo all'espressione

$$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 \left( 1 - \frac{\beta_2}{\beta_1} \kappa \, \omega_0 \right) \Longrightarrow \omega_0 = \frac{\frac{\beta_1}{\beta_2} \kappa - \sqrt{\left(\frac{\beta_1}{\beta_2 }\right)^2 \kappa^2 - 4 k^2 \frac{\beta_1}{\beta_2} \mu_{d,0} }}{2 \kappa^2}$$

che può essere approssimata nella forma

$$\omega_0 = \mu_{d,0} \left( 1 + \mu_{d,0} \right) $$

più conservativa ma di più facile calcolo.

In questo modo possiamo diagrammare $\mu_{d,0}$ ed $\omega_{0}$ in funzione di $\xi_u$.

Armatura doppia

Anche per la sezione con doppia armatura partiamo dal considerare

$$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$

da cui

$$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s + \sigma'_s \, A'_s$$

Passando alle grandezze ridotte possiamo scrivere

$$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega - \kappa' \, \omega' = - \beta_1 \, \xi_u + \omega ( \kappa - \kappa' \, \alpha_s)$$

da cui

$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} $$

che ci permette di calcolare l'armatura necessaria nella sezione noto $\xi_{u}$.

Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all'armatura tesa

$$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)+ k' \, f_{yd} \, A'_s (d - d')$$

che può essere scritto anche nella forma

$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \kappa' \, \omega' \, (1 - \delta)$$

Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante degli sforzi nel calcestruzzo

$$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x_u) + \kappa' \, f_{yd} \, A'_s (\beta_2 \, x_u - d')$$

che diventa

$$\mu_{d} = \kappa \, \omega (1 - \beta_2 \, \xi_u) + \kappa' \, \omega' (\beta_2 \, \xi_u - \delta) = \omega \left[ k (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \alpha_s (\beta_2 \, \xi_u - \delta) \right]$$

Rimane da determinare il valore di $\kappa'$ che, analogamente a quanto fatto per $\kappa$, si calcola a partire da $\varepsilon'_s$

$$ \varepsilon'_s = \varepsilon_{cu2} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) $$

da cui

$$\kappa' = \begin{cases} \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) & \left(1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\ 1 & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} } \end{cases} $$

$$\varepsilon_{yd} = \frac{f_{yd}}{E_s}$$

Le formule di interesse pratico in fase di dimensionamento sono

$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} $$

$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left[ \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \frac{\kappa' \, \alpha_s}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} (1 - \delta) \right] = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \kappa' \, \alpha_s \, \omega \left( 1 - \delta \right) $$

Per calcolare il rapporto geometrico di armatura noto $\mu_d$ dobbiamo risolvere l'equazione

$$\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' \alpha_s \right)^2 \omega^2 - \left[ \left( \kappa - \kappa' \, \alpha_s \right) + \kappa' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] \omega + \mu_d = 0$$

da cui

$$\omega = \frac{\left[ \left( \kappa - \kappa' \, \alpha_s \right) + \kappa' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] - \sqrt{\left[ \left( \kappa - \kappa' \, \alpha_s \right) + \kappa' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right]^2 - 4 \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' \alpha_s \right)^2 \mu_d }} {2 \, \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' \alpha_s \right)^2} $$

Pressoflessione

Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche in presenza di sforzo normale di lieve entità, o, per essere più precisi, in presenza di eccentricità significative del carico agente.

Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, quindi per sezioni rettangolari sono calcolati ad ${h}/{2}$.

Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l'armatura tesa, ottenendo

$$ M_{Ed}^{*} = M_{Ed} - N_{Ed} \, \left( d - \frac{h}{2} \right) $$

Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$

$$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{\eta}{2} \right) $$

A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l'armatura tesa $A_{s,min}^{*}$. A quest'ultimo valore dobbiamo aggiungere l'area necessaria per assorbire lo sforzo normale $N_{Ed}$, ottenendo

$$ A_{s,min} = A_{s,min}^{*} + \frac{N_{Ed}}{\sigma_s}$$

che in forma adimensionale diventa

$$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$

Stati Limite di Esercizio

Assumendo un comportamento elastico lineare, in presenza di sola armatura a trazione, calcolando il momento rispetto all'armatura tesa e indicando con $\sigma_c$ la tensione massima ammissibile nel calcestruzzo, il momento massimo cui possiamo sottoporre la sezione è

$$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$

Calcolando il momento rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo e indicando con $\sigma_s$ la massima tensione ammissibile nell'acciaio, il momento massimo cui possiamo sottoporre la sezione è

$$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$

Qualora la sezione analizzata abbia armature sia in zona tesa che in zona compressa abbiamo

$$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma'_s \, A'_s (d - d')$$

$$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma'_s \, A'_s (d - d')$$

Per riuscire a mettere in relazione i momenti calcolati alle tensioni nel calcestruzzo e nell'acciaio, considerando l'ipotesi di linearità delle tensioni, possiamo scrivere

$$\sigma'_s = \sigma_s \frac{x_{el} - d'}{d-x_{el}} = \sigma_{s} \frac{\xi_{el} - \delta}{1 - \xi_{el}}$$

$$\sigma'_s = \alpha_e \, \sigma_c \left( 1 - \frac{d'}{x_{el}} \right) = \alpha_e \, \sigma_c \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right)$$

Sostituite nelle formule viste prima ci danno

$$ M_{Rk} = \sigma_c \left[ \frac{1}{2} \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \alpha_e \left( 1 - \frac{d'}{x_{el}} \right) \, A'_s (d - d') \right] $$

$$ M_{Rk} = \sigma_s \left[ A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \frac{x_{el} - d'}{d-x_{el}} \, A'_s (d - d') \right] $$

Relazioni tra SLE e SLU

Armatura semplice

Per gli Stati Limite Ultimi

$$M_{Rd} = f_{cd} \, b \beta_1 \, x_{u} \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$

$$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$

Per gli Stati Limite di Esercizio

$$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$

$$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$

Dividendo le espressioni tra di loro otteniamo

$$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \frac{x_{el} \left( d - x_{el}/3 \right)}{2 \, \beta_1 \, x_{u} \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)}$$

$$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( d - x_{el}/3 \right)}{k \, \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)}$$

che, introducendo le grandezze adimensionali

$$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d}$$

$$\xi_{u} = \frac{x_{u}}{d}$$

diventano

$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \frac{\xi_{el} \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{2 \, \beta_1 \, \xi_{u} \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}$$

$$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} $$

Verifica deformazione

Per quanto riguardo la verifica a deformazione, applicando il metodo indiretto (vedi relativo paragrafo su Stato limite di deformazione sappiamo di poter considerare soddisfatta la verifica se

$$\frac{l_n}{d} = \frac{l}{K} \frac{1}{d} \le \left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$

esprimibile anche nella forma

$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$

Ricavando il rapporto $\sigma_s / f_{yk}$ dalla formula vista sopra possiamo scrivere

$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$

Armatura doppia

Una volta determinato il $\mu_{d,lim}$ come visto al punto precedente, se i vincoli presenti sono tali da non permetterci di rispettare tale parametro, dovremo aggiungere armatura in zona compressa.

Le relazioni viste sopra vanno perciò modificate per tener conto della presenza di armatura in zona compressa.

Il momento resistente allo stato limite ultimo calcolato rispetto all'armatura tesa è

$$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{ck} \frac{\alpha_{cc}}{\gamma_c} \left[ \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \omega' (1- \delta) \right]$$

Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo

$$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho_d \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho_d' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$

Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo

$$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho_d' (1 - \delta) \right]$$

e

$$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) \right]$$

Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo

$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho_d' (1 - \delta)}{\beta_1 \, \xi_{u} (1 - \beta_2 \, \xi_u)+ k' \, \omega' (1 - \delta) } $$

$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s \frac{\rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) }{k \, \rho_d (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \rho_d' (\beta_2 \, \xi_u - \delta)} $$

Per la verifica a deformazione abbiamo invece

$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho_d (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho_d' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$

Valori ammissibili della profondità relativa dell'asse neutro

In zona sismica la normativa impone

$$\frac{1,4}{f_{yk}} < \rho < \rho' + \frac{3,5}{f_{yk}}$$

(vedi Limitazioni delle armature).

Abbiamo visto che

$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}$$

Possiamo esprimere $\omega$ nella forma

$$\omega = \frac{A_s f_{yd}}{b \; d \; f_{cd}} = \rho_d \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}} = \rho \; \eta \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}}$$

da cui ci è possibile ricavare $\rho$ in funzione di $\omega$

$$\rho = \omega \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$

e, a seguire, $\rho$ in funzione di $\xi_u$

$$\rho = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$

Introducendo il rapporto delle aree delle armature $\alpha_s$ possiamo ricavarci la percentuale geomtrica dell'armatura compressa

$$\rho' = \alpha_s \rho$$

Sostituendo le ultime due nella formula di normativa relativa alla limitazione delle armature, otteniamo

$$\frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}} > \frac{1,4}{f_{yk}}$$

$$\rho < \alpha_s \; \rho + \frac{3,5}{f_{yk}} \Longrightarrow \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' \, \alpha_s} \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}} \left( 1 - \alpha_s \right) < \frac{3,5}{f_{yk}} $$

Con alcuni semplici passaggi matematici otteniamo

$$1,4 \; \eta \frac{ \kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \; \gamma_s \; f_{cd}} < \xi_u < 3,5 \; \eta \frac{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \left( 1 - \alpha_s \right) \gamma_s \; f_{cd} }$$

Predimensionamento

Si riporta di seguito un possibile iter logico da seguire per il predimensionamento di una sezione rettangolare:

  1. calcolo $M_{Ed}$ (momento flettente nella combinazione di SLU), $M_{Ek,rara}$ (momento nella combinazione rara di SLE), $M_{Ek,freq}$ (momento nella combinazione frequente di SLE), $M_{Ek,QP}$ (momento nella combinazione quasi permanente di SLE)
  2. fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto)
  3. analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$
  4. fissiamo $\xi_{u,lim}$; sulla scorta delle consdierazioni viste al paaragrafo precedente potremmo assumere un valore pari a $3,5 \; \eta \frac{\kappa - \kappa' \, \alpha_s}{\beta_1 \left( 1 - \alpha_s \right) \gamma_s \; f_{cd} }$;
  5. rimane da fissare una valore per $\alpha_s$; se siamo in zona sismica, dovremo disporre un armatura in zona compressa pari al 25% dell'armatura in zona tesa; pertanto possiamo porre $\alpha_s = 0,25$;
  6. in corrispondenza del valore di $\xi_{u,lim}$ scelto troviamo
    • $\mu_{d,lim}$, $\omega_{lim}$
    • $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{freq}$ e $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{QP}$
    • ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$
  7. determiniamo l'altezza utile minima usando il valore di ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ trovato
  8. abbiamo ora due casistiche
    • se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione mediante
      • $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$
    • se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$ usiamo invece
      • $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{freq}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{QP} \right\} $$
      • $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$
  9. infine troviamo l'armatura con la formula
    • $$A_{s,min} = \frac{\omega_{lim} \, f_{cd} \, b \, d}{f_{yd}}$$

Se invece l'altezza utile della sezione fosse assegnata, nella scelta di $\xi_{u,lim}$ dovremo verificare che il corrispondente valore di $\left( l_n / d \right)_{lim}$ sia maggiore del rapporto effettivo $\left( l_n / d \right)_{eff}$.


tecnica_costruzioni/cls/sl_dimensionamento_travi.txt · Ultima modifica: 2013/08/28 13:26 da mickele

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