tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi
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tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2021/06/13 13:09] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Dimensionamento di elementi inflessi ====== | ||
- | |||
- | Nel seguito analizzeremo alcuni strumenti utili per la progettazione di sezioni rettangolari in c.a. di travi inflesse. | ||
- | |||
- | Per comodità di trattazione introduciamo le seguenti grandezze adimensionali: | ||
- | |||
- | ^ Simbolo | ||
- | | $\xi_u = \frac{x_u}{d} $ | Profondità relativa asse neutro allo SLU | | ||
- | | $\nu_d = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\mu_d = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\mu_{d,0} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\omega = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\omega_0 = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\delta=\frac{d' | ||
- | | $\omega' | ||
- | | $k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $ | Tensione ridotta armatura tesa allo SLU | | ||
- | | $k' = - \frac{\sigma' | ||
- | | $\alpha_s = \frac{A' | ||
- | | $\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $ | Profondità relativa asse neutro allo SLE | | ||
- | | $\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $ | Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE | | ||
- | | $\eta = \frac{h}{d} > 1 $ | Altezza ridotta della sezione | ||
- | | $\rho = \frac{A_s}{b \, h}$ | Rapporto geometrico dell' | ||
- | | $\rho' = \frac{A' | ||
- | | $\rho_d = \frac{A_s}{b \, d} = \rho \; \eta$ | Rapporto geometrico dell' | ||
- | | $\rho_d' | ||
- | |||
- | |||
- | ===== Stato Limite Ultimo ===== | ||
- | |||
- | ==== Flessione retta ==== | ||
- | |||
- | === Armatura semplice === | ||
- | | ||
- | La nostra sezione è soggetta a flessione pura, pertanto | ||
- | |||
- | $$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$ | ||
- | |||
- | Sotto tali ipotesi, in assenza di armatura compressa, | ||
- | |||
- | $$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s$$ | ||
- | |||
- | dividendo per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo $\kappa$ possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega_0$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\xi_u = \kappa \frac{\omega_0}{\beta_1}$$ | ||
- | |||
- | Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all' | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)$$ | ||
- | |||
- | che passando alle grandezze ridotte diventa | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$ | ||
- | |||
- | Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo | ||
- | | ||
- | $$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x)$$ | ||
- | |||
- | che diventa | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$ | ||
- | |||
- | Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell' | ||
- | |||
- | $$ \varepsilon_s = \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) $$ | ||
- | |||
- | da cui infine | ||
- | |||
- | $$\kappa = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) & \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} } \\\\ | ||
- | 1 & \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} | ||
- | \end{cases} $$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{yd} | ||
- | | ||
- | Ai fini del dimensionamento di una sezione, le formule di interesse pratico sono | ||
- | |||
- | $$\omega_0 = \frac{\beta_1}{\kappa} \xi_u$$ | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$ | ||
- | |||
- | Dovendo invece calcolare la percentuale meccanica di armatura noto $\mu_d$ ricorriamo all' | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 \left( 1 - \frac{\beta_2}{\beta_1} \kappa \, \omega_0 \right) \Longrightarrow | ||
- | \omega_0 = \frac{\frac{\beta_1}{\beta_2} \kappa - \sqrt{\left(\frac{\beta_1}{\beta_2 }\right)^2 \kappa^2 - 4 k^2 \frac{\beta_1}{\beta_2} \mu_{d,0} }}{2 \kappa^2}$$ | ||
- | |||
- | che può essere approssimata nella forma | ||
- | |||
- | $$\omega_0 = \mu_{d,0} \left( 1 + \mu_{d,0} \right) | ||
- | |||
- | più conservativa ma di più facile calcolo. | ||
- | |||
- | In questo modo possiamo diagrammare $\mu_{d,0}$ ed $\omega_{0}$ in funzione di $\xi_u$. | ||
- | |||
- | === Armatura doppia === | ||
- | |||
- | Anche per la sezione con doppia armatura partiamo dal considerare | ||
- | |||
- | $$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s + \sigma' | ||
- | |||
- | Passando alle grandezze ridotte possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega - \kappa' | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | che ci permette di calcolare l' | ||
- | |||
- | Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all' | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)+ k' \, f_{yd} \, A'_s (d - d')$$ | ||
- | |||
- | che può essere scritto anche nella forma | ||
- | |||
- | $$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \kappa' | ||
- | |||
- | Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante degli sforzi nel calcestruzzo | ||
- | | ||
- | $$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x_u) + \kappa' | ||
- | |||
- | che diventa | ||
- | |||
- | $$\mu_{d} = \kappa \, \omega (1 - \beta_2 \, \xi_u) + \kappa' | ||
- | | ||
- | |||
- | Rimane da determinare il valore di $\kappa' | ||
- | |||
- | $$ \varepsilon' | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\kappa' | ||
- | \begin{cases} | ||
- | \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) & \left(1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\ | ||
- | 1 & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} } | ||
- | \end{cases} $$ | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{yd} | ||
- | |||
- | Le formule di interesse pratico in fase di dimensionamento sono | ||
- | |||
- | $$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | $$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left[ \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \frac{\kappa' | ||
- | |||
- | Per calcolare il rapporto geometrico di armatura noto $\mu_d$ dobbiamo risolvere l' | ||
- | |||
- | $$\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' | ||
- | - \left[ \left( \kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\omega = | ||
- | \frac{\left[ \left( \kappa - \kappa' | ||
- | \sqrt{\left[ \left( \kappa - \kappa' | ||
- | 4 \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' | ||
- | {2 \, \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | ==== Pressoflessione ==== | ||
- | |||
- | Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche in presenza di sforzo normale di lieve entità, o, per essere più precisi, in presenza di eccentricità significative del carico agente. | ||
- | |||
- | Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, | ||
- | |||
- | Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l' | ||
- | |||
- | $$ M_{Ed}^{*} = M_{Ed} - N_{Ed} \, \left( d - \frac{h}{2} \right) $$ | ||
- | |||
- | Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$ | ||
- | |||
- | $$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{\eta}{2} \right) $$ | ||
- | |||
- | A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l' | ||
- | |||
- | $$ A_{s,min} = A_{s, | ||
- | |||
- | che in forma adimensionale diventa | ||
- | |||
- | $$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$ | ||
- | |||
- | ===== Stati Limite di Esercizio ===== | ||
- | |||
- | Assumendo un comportamento elastico lineare, in presenza di sola armatura a trazione, calcolando il momento rispetto all' | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | Calcolando il momento rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo e indicando con $\sigma_s$ la massima tensione ammissibile nell' | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | Qualora la sezione analizzata abbia armature sia in zona tesa che in zona compressa abbiamo | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma' | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma' | ||
- | |||
- | Per riuscire a mettere in relazione i momenti calcolati alle tensioni nel calcestruzzo e nell' | ||
- | |||
- | $$\sigma' | ||
- | |||
- | $$\sigma' | ||
- | |||
- | Sostituite nelle formule viste prima ci danno | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_c \left[ \frac{1}{2} \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \alpha_e | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \left[ A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \frac{x_{el} - d' | ||
- | |||
- | |||
- | ===== Relazioni tra SLE e SLU ===== | ||
- | |||
- | ==== Armatura semplice ==== | ||
- | |||
- | Per gli Stati Limite Ultimi | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = f_{cd} \, b \beta_1 \, x_{u} \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$ | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$ | ||
- | |||
- | Per gli Stati Limite di Esercizio | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | Dividendo le espressioni tra di loro otteniamo | ||
- | |||
- | $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}} | ||
- | |||
- | $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( d - x_{el}/3 \right)}{k \, \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)}$$ | ||
- | |||
- | che, introducendo le grandezze adimensionali | ||
- | |||
- | $$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d}$$ | ||
- | |||
- | $$\xi_{u} = \frac{x_{u}}{d}$$ | ||
- | |||
- | diventano | ||
- | |||
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \frac{\xi_{el} \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{2 \, \beta_1 \, \xi_{u} \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}$$ | ||
- | |||
- | $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} | ||
- | |||
- | |||
- | === Verifica deformazione === | ||
- | |||
- | Per quanto riguardo la verifica a deformazione, | ||
- | |||
- | $$\frac{l_n}{d} = \frac{l}{K} \frac{1}{d} \le \left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | |||
- | esprimibile anche nella forma | ||
- | |||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | |||
- | Ricavando il rapporto $\sigma_s / f_{yk}$ dalla formula vista sopra possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | |||
- | ==== Armatura doppia ==== | ||
- | |||
- | Una volta determinato il $\mu_{d, | ||
- | |||
- | Le relazioni viste sopra vanno perciò modificate per tener conto della presenza di armatura in zona compressa. | ||
- | |||
- | Il momento resistente allo stato limite ultimo calcolato rispetto all' | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{ck} \frac{\alpha_{cc}}{\gamma_c} \left[ \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \omega' | ||
- | |||
- | Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho_d \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho_d' | ||
- | |||
- | Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo | ||
- | |||
- | $$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e | ||
- | |||
- | e | ||
- | |||
- | $$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' | ||
- | |||
- | Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo | ||
- | |||
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e | ||
- | |||
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s | ||
- | |||
- | Per la verifica a deformazione abbiamo invece | ||
- | |||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho_d \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho_d' | ||
- | |||
- | |||
- | ==== Considerazioni sui valori ammissibili della profondità relativa dell' | ||
- | |||
- | In zona sismica la normativa impone | ||
- | |||
- | $$\frac{1, | ||
- | |||
- | (vedi [[tecnica_costruzioni: | ||
- | |||
- | Abbiamo visto che | ||
- | |||
- | $$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | Possiamo esprimere $\omega$ nella forma | ||
- | |||
- | $$\omega = \frac{A_s f_{yd}}{b \; d \; f_{cd}} = \rho_d \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}} = \rho \; \eta \frac{f_{yk}}{\gamma_s \; f_{cd}}$$ | ||
- | |||
- | da cui ci è possibile ricavare $\rho$ in funzione di $\omega$ | ||
- | |||
- | $$\rho = \omega \; \frac{1}{\eta} \frac{\gamma_s \; f_{cd}}{f_{yk}}$$ | ||
- | |||
- | e, a seguire, $\rho$ in funzione di $\xi_u$ | ||
- | |||
- | $$\rho = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | Introducendo il rapporto delle aree delle armature $\alpha_s$ possiamo ricavarci la percentuale geomtrica dell' | ||
- | |||
- | $$\rho' | ||
- | |||
- | Sostituendo le ultime due nella formula di normativa relativa alla limitazione delle armature, otteniamo | ||
- | |||
- | $$\frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | $$\rho < \alpha_s \; \rho + \frac{3, | ||
- | |||
- | Con alcuni semplici passaggi matematici otteniamo | ||
- | |||
- | $$1,4 \; \eta \frac{ \kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | ==== Predimensionamento ==== | ||
- | |||
- | Si riporta di seguito un possibile iter logico da seguire per il predimensionamento di una sezione rettangolare: | ||
- | - calcolo $M_{Ed}$ (momento flettente nella combinazione di SLU), $M_{Ek, | ||
- | - fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto) | ||
- | - analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$ | ||
- | - fissiamo $\xi_{u, | ||
- | - rimane da fissare una valore per $\alpha_s$; se siamo in zona sismica, dovremo disporre un armatura in zona compressa pari al 25% dell' | ||
- | - in corrispondenza del valore di $\xi_{u, | ||
- | * $\mu_{d, | ||
- | * $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, | ||
- | * ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ | ||
- | - determiniamo l' | ||
- | - abbiamo ora due casistiche | ||
- | * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione mediante | ||
- | * $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, | ||
- | * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$ usiamo invece | ||
- | * $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, | ||
- | * $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, | ||
- | - infine troviamo l' | ||
- | * $$A_{s,min} = \frac{\omega_{lim} \, f_{cd} \, b \, d}{f_{yd}}$$ | ||
- | |||
- | Se invece l' | ||
tecnica_costruzioni/cls/sl_dimensionamento_travi.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)