tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi
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tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2021/06/13 13:09] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Dimensionamento di elementi inflessi ====== | ||
- | |||
- | Nel seguito analizzeremo alcuni strumenti utili per la progettazione di sezioni rettangolari in c.a. di travi inflesse. | ||
- | |||
- | Per comodità di trattazione introduciamo le seguenti grandezze adimensionali: | ||
- | |||
- | ^ Simbolo | ||
- | | $\xi_u = \frac{x_u}{d} $ | Profondità relativa asse neutro allo SLU | | ||
- | | $\nu_d = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\mu_d = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\mu_{d,0} = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\omega = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\omega_0 = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$ | ||
- | | $\delta=\frac{d' | ||
- | | $\omega' | ||
- | | $k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $ | Tensione ridotta armatura tesa allo SLU | | ||
- | | $k' = - \frac{\sigma' | ||
- | | $\alpha_s = \frac{A' | ||
- | | $\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $ | Profondità relativa asse neutro allo SLE | | ||
- | | $\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $ | Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE | | ||
- | | $\eta = \frac{h}{d} > 1 $ | Altezza ridotta della sezione | ||
- | | $\rho = \frac{A_s}{b \, h}$ | Rapporto geometrico dell' | ||
- | | $\rho' = \frac{A' | ||
- | | $\rho_d = \frac{A_s}{b \, d} = \rho \; \eta$ | Rapporto geometrico dell' | ||
- | | $\rho_d' | ||
- | |||
- | |||
- | ===== Stato Limite Ultimo ===== | ||
- | |||
- | ==== Flessione retta ==== | ||
- | |||
- | === Armatura semplice === | ||
- | | ||
- | La nostra sezione è soggetta a flessione pura, pertanto | ||
- | |||
- | $$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$ | ||
- | |||
- | Sotto tali ipotesi, in assenza di armatura compressa, | ||
- | |||
- | $$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s$$ | ||
- | |||
- | dividendo per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo $\kappa$ possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega_0$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\xi_u = \kappa \frac{\omega_0}{\beta_1}$$ | ||
- | |||
- | Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all' | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)$$ | ||
- | |||
- | che passando alle grandezze ridotte diventa | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$ | ||
- | |||
- | Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo | ||
- | | ||
- | $$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x)$$ | ||
- | |||
- | che diventa | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$ | ||
- | |||
- | Per determinare il valore del coefficiente $\kappa$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell' | ||
- | |||
- | $$ \varepsilon_s = \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) $$ | ||
- | |||
- | da cui infine | ||
- | |||
- | $$\kappa = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) & \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} } \\\\ | ||
- | 1 & \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} | ||
- | \end{cases} $$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{yd} | ||
- | | ||
- | Ai fini del dimensionamento di una sezione, le formule di interesse pratico sono | ||
- | |||
- | $$\omega_0 = \frac{\beta_1}{\kappa} \xi_u$$ | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$ | ||
- | |||
- | Dovendo invece calcolare la percentuale meccanica di armatura noto $\mu_d$ ricorriamo all' | ||
- | |||
- | $$\mu_{d,0} = \kappa \, \omega_0 \left( 1 - \frac{\beta_2}{\beta_1} \kappa \, \omega_0 \right) \Longrightarrow | ||
- | \omega_0 = \frac{\frac{\beta_1}{\beta_2} \kappa - \sqrt{\left(\frac{\beta_1}{\beta_2 }\right)^2 \kappa^2 - 4 k^2 \frac{\beta_1}{\beta_2} \mu_{d,0} }}{2 \kappa^2}$$ | ||
- | |||
- | che può essere approssimata nella forma | ||
- | |||
- | $$\omega_0 = \mu_{d,0} \left( 1 + \mu_{d,0} \right) | ||
- | |||
- | più conservativa ma di più facile calcolo. | ||
- | |||
- | In questo modo possiamo diagrammare $\mu_{d,0}$ ed $\omega_{0}$ in funzione di $\xi_u$. | ||
- | |||
- | === Armatura doppia === | ||
- | |||
- | Anche per la sezione con doppia armatura partiamo dal considerare | ||
- | |||
- | $$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s + \sigma' | ||
- | |||
- | Passando alle grandezze ridotte possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$0 = - \beta_1 \, \xi_u + \kappa \, \omega - \kappa' | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | che ci permette di calcolare l' | ||
- | |||
- | Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all' | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)+ k' \, f_{yd} \, A'_s (d - d')$$ | ||
- | |||
- | che può essere scritto anche nella forma | ||
- | |||
- | $$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \kappa' | ||
- | |||
- | Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante degli sforzi nel calcestruzzo | ||
- | | ||
- | $$M_{Rd} = \kappa \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x_u) + \kappa' | ||
- | |||
- | che diventa | ||
- | |||
- | $$\mu_{d} = \kappa \, \omega (1 - \beta_2 \, \xi_u) + \kappa' | ||
- | | ||
- | |||
- | Rimane da determinare il valore di $\kappa' | ||
- | |||
- | $$ \varepsilon' | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\kappa' | ||
- | \begin{cases} | ||
- | \frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) & \left(1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) < \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2}} \\\\ | ||
- | 1 & \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) \ge \frac{\varepsilon_{yd}}{\varepsilon_{cu2} } | ||
- | \end{cases} $$ | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{yd} | ||
- | |||
- | Le formule di interesse pratico in fase di dimensionamento sono | ||
- | |||
- | $$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{\kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | $$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left[ \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \frac{\kappa' | ||
- | |||
- | Per calcolare il rapporto geometrico di armatura noto $\mu_d$ dobbiamo risolvere l' | ||
- | |||
- | $$\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' | ||
- | - \left[ \left( \kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\omega = | ||
- | \frac{\left[ \left( \kappa - \kappa' | ||
- | \sqrt{\left[ \left( \kappa - \kappa' | ||
- | 4 \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' | ||
- | {2 \, \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( \kappa - \kappa' | ||
- | |||
- | ==== Pressoflessione ==== | ||
- | |||
- | Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche alla pressoflessione, | ||
- | |||
- | Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l' | ||
- | |||
- | $$ M_{Ed}^{*} = M_{Ed} - N_{Ed} \, \left( d - \frac{h}{2} \right) $$ | ||
- | |||
- | Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$ | ||
- | |||
- | $$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{h}{2 \, d} \right) $$ | ||
- | |||
- | A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l' | ||
- | |||
- | $$ A_{s,min} = A_{s, | ||
- | |||
- | esprimibile anche nella forma | ||
- | |||
- | $$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$ | ||
- | |||
- | ===== Stati Limite di Esercizio ===== | ||
- | |||
- | Assumendo un comportamento elastico lineare, in presenza di sola armatura a trazione, calcolando il momento rispetto all' | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | Calcolando il momento rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo e indicando con $\sigma_s$ la massima tensione ammissibile nell' | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | Qualora la sezione analizzata abbia armature sia in zona tesa che in zona compressa abbiamo | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma' | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma' | ||
- | |||
- | Per riuscire a mettere in relazione i momenti calcolati alle tensioni nel calcestruzzo e nell' | ||
- | |||
- | $$\sigma' | ||
- | |||
- | $$\sigma' | ||
- | |||
- | Sostituite nelle formule viste prima ci danno | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_c \left[ \frac{1}{2} \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \alpha_e | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \left[ A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \frac{x_{el} - d' | ||
- | |||
- | |||
- | ===== Relazioni tra SLE e SLU ===== | ||
- | |||
- | ==== Armatura semplice ==== | ||
- | |||
- | Per gli Stati Limite Ultimi | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = f_{cd} \, b \beta_1 \, x_{u} \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$ | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$ | ||
- | |||
- | Per gli Stati Limite di Esercizio | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | $$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$ | ||
- | |||
- | Dividendo le espressioni tra di loro otteniamo | ||
- | |||
- | $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}} | ||
- | |||
- | $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( d - x_{el}/3 \right)}{k \, \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)}$$ | ||
- | |||
- | che, introducendo le grandezze adimensionali | ||
- | |||
- | $$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d}$$ | ||
- | |||
- | $$\xi_{u} = \frac{x_{u}}{d}$$ | ||
- | |||
- | diventano | ||
- | |||
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \frac{\xi_{el} \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{2 \, \beta_1 \, \xi_{u} \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}$$ | ||
- | |||
- | $$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} | ||
- | |||
- | Per quanto riguardo la verifica a deformazione, | ||
- | |||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \left( \frac{l}{K \, s} \frac{1}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | |||
- | che diventa | ||
- | |||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | |||
- | ==== Armatura doppia ==== | ||
- | |||
- | Una volta determinato il $\mu_{d, | ||
- | |||
- | Le relazioni viste sopra vanno perciò modificate per tener conto della presenza di armatura in zona compressa. | ||
- | |||
- | Il momento resistente allo stato limite ultimo calcolato rispetto all' | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{ck} \frac{\alpha_{cc}}{\gamma_c} \left[ \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \omega' | ||
- | |||
- | Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo | ||
- | |||
- | $$M_{Rd} = b \, d^2 \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$ | ||
- | |||
- | Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo | ||
- | |||
- | $$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e | ||
- | |||
- | e | ||
- | |||
- | $$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) | ||
- | |||
- | Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo | ||
- | |||
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e | ||
- | |||
- | $$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s | ||
- | |||
- | Per la verifica a deformazione abbiamo invece | ||
- | |||
- | $$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim, | ||
- | |||
- | |||
- | ==== Predimensionamento ==== | ||
- | |||
- | Si riporta di seguito un possibile iter logico da seguire per il predimensionamento di una sezione rettangolare: | ||
- | - calcolo $M_{Ed}$ (momento flettente nella combinazione di SLU), $M_{Ek, | ||
- | - fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto) | ||
- | - analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$ | ||
- | - fissiamo un valore di $\xi_{u, | ||
- | * $\mu_{d, | ||
- | * $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, | ||
- | * ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ | ||
- | - determiniamo l' | ||
- | - a questo punto abbiamo due possibilità | ||
- | * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione con la formula | ||
- | * $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, | ||
- | * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$ | ||
- | * $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, | ||
- | * $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d, | ||
- | - infine troviamo l' | ||
- | * $$A_{s,min} = \frac{\omega_{lim} \, f_{cd} \, b \, d}{f_{yd}}$$ | ||
- | |||
- | Se invece l' | ||
tecnica_costruzioni/cls/sl_dimensionamento_travi.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)