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mickele [Predimensionamento]
+++ tecnica_costruzioni:cls:sl_dimensionamento_travi [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Dimensionamento di elementi inflessi ======
-===== Stati Limite Ultimi =====
-==== Notazioni ====
-Per affrontare il dimensionamento di una sezione rettangolare introduciamo le seguenti grandezze adimensionali:
-  * Distanza ridotta dell'armatura compressa dal lembo superiore compresso
-$$\delta = \frac{d'}{d} $$
-  * Rapporto geometrico dell'armatura tesa
-$$\rho = \frac{A_s}{b \, d}$$
-  * Rapporto geometrico dell'armatura compressa
-$$\rho' = \frac{A'_s}{b \, d}$$
-  * Rapporto meccanico dell'armatura tesa
-$$\omega = \frac{A_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-  * Rapporto meccanico dell'armatura compressa
-$$\omega' = \frac{A'_s \, f_{yd}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-  * Rapporto delle aree delle armature
-$$\alpha_s = \frac{A'_s}{A_s} = \frac{\rho'}{\rho} = \frac{\omega'}{\omega}$$
-  * Profondità relativa asse neutro allo SLU
-$$\xi_u = \frac{x_u}{d} $$
-  * Sforzo normale ridotto allo SLU
-$$\nu_d = \frac{N_{Ed}}{b \, d \, f_{cd}}$$
-  * Momento flettente ridotto allo SLU
-$$\mu_d = \frac{M_{Ed}}{b \, d^2 \, f_{cd}}$$
-  * Rapporto tensione armatura tesa allo SLU
-$$k = \frac{\sigma_s}{f_{yd}} $$
-  * Rapporto tensione armatura compressa allo SLU
-$$k' = - \frac{\sigma'_s}{f_{yd}} $$
-  * Coefficiente di omogeneizzazione allo SLE
-$$\alpha_e = \frac{E_s}{E_c} $$
-  * Profondità relativa asse neutro allo SLE
-$$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d} $$
-==== Flessione retta ====
-=== Armatura semplice ===
-La nostra sezione è soggetta a flessione pura, pertanto
-$$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$
-Sotto tali ipotesi, in assenza di armatura compressa,
-$$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s$$
-dividendo per $b \, d \, f_{cd}$ e introducendo $k$ possiamo scrivere
-$$0 = - \beta_1 \, \xi_u$$
-da cui
-$$\xi_u = k \frac{\omega}{\beta_1}$$
-Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all'armatura tesa, ottenendo
-$$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)$$
-che passando alle grandezze ridotte diventa
-$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
-Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo
-$$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x)$$
-che diventa
-$$\mu_{d} = k \, \omega \left(1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
-Per determinare il valore del coefficiente $k$ dobbiamo calcolare il valore della deformazione nell'armatura tesa. Con osservazioni di tipo geometrico, ricordando che lo stato deformativo analizzato si trova nel campo 3, troviamo
-$$ \varepsilon_s = \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) $$
-da cui infine
-$$k =
-\begin{cases}
-\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) & \left| \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \right| < \varepsilon_{yd} \\\\
-& \left| \varepsilon_{cu2} \left( \frac{1}{\xi_u} - 1 \right) \right| \ge \varepsilon_{yd}
-\end{cases} $$
-in cui
-$$\varepsilon_{yd}  = \frac{f_{yd}}{E_s}$$
-Ai fini del dimensionamento di una sezione, le formule di interesse pratico sono
-$$\omega_0 = \frac{\beta_1}{k} \xi_u$$
-$$\mu_{d0} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right)$$
-Dovendo invece calcolare la percentuale meccanica di armatura noto $\mu_d$ ricorriamo all'espressione
-$$\mu_{d0} = k \, \omega_0 \left( 1 - \frac{\beta_2}{\beta_1} k \, \omega_0 \right) \Longrightarrow
-\omega_0 = \frac{\frac{\beta_1}{\beta_2} k - \sqrt{\left(\frac{\beta_1}{\beta_2 }\right)^2 k^2 - 4 k^2 \frac{\beta_1}{\beta_2} \mu_{d0} }}{2 k^2}$$
-che può essere approssimata nella forma
-$$\omega_0 = \mu_{d0} \left( 1 + \mu_{d0} \right)  $$
-più conservativa ma di più facile calcolo.
-In questo modo possiamo diagrammare $\mu_{d0}$ ed $\omega_{0}$ in funzione di $\xi_u$.
-=== Armatura doppia ===
-Anche per la sezione con doppia armatura partiamo dal considerare
-$$N_{Ed} = 0 \Longrightarrow \nu = 0$$
-da cui
-$$0 = - b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} + \sigma_s \, A_s + \sigma'_s \, A'_s$$
-Passando alle grandezze ridotte possiamo scrivere
-$$0 = - \beta_1 \, \xi_u + k \, \omega - k' \, \omega' = - \beta_1 \, \xi_u + \omega ( k - k' \, \alpha_s)$$
-da cui
-$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{k - k' \, \alpha_s} $$
-che ci permette di calcolare l'armatura necessaria nella sezione noto $\xi_{u}$.
-Calcoliamo il momento resistente corrispondente rispetto all'armatura tesa
-$$M_{Rd} = b \, \beta_1 \, x_u \, f_{cd} (d - \beta_2 \, x_u)+ k' \, f_{yd} \, A'_s (d - d')$$
-che può essere scritto anche nella forma
-$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \omega' \, (1 - \delta)$$
-Calcolando invece il momento resistente rispetto alla risultante degli sforzi nel calcestruzzo
-$$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s (d - \beta_2 \, x_u) + k' \, f_{yd} \, A'_s (\beta_2 \, x_u - d')$$
-che diventa
-$$\mu_{d} = k \, \omega (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \omega' (\beta_2 \, \xi_u - \delta) =
- \omega \left[ k (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \alpha_s (\beta_2 \, \xi_u - \delta) \right]$$
-Rimane da determinare il valore di $k'$ che, analogamente a quanto fatto per $k$, si calcola a partire da $\varepsilon'_s$
-$$ \varepsilon'_s = \varepsilon_{cu2} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) $$
-da cui
-$$k' =
-\begin{cases}
-\frac{\varepsilon_{cu2}}{\varepsilon_{yd}} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) & \left| \varepsilon_{cu2} \left(1 -  \frac{\delta}{\xi_u} \right) \right| < \varepsilon_{yd} \\\\
-& \left| \varepsilon_{cu2} \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_u} \right) \right| \ge \varepsilon_{yd}
-\end{cases} $$
-$$\varepsilon_{yd}  = \frac{f_{yd}}{E_s}$$
-Le formule di interesse pratico in fase di dimensionamento sono
-$$\omega = \frac{\beta_1 \, \xi_u}{k - k' \, \alpha_s} $$
-$$\mu_{d} = \beta_1 \, \xi_u \left[ \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + \frac{k' \, \alpha_s}{k - k' \, \alpha_s} (1 - \delta) \right] = \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \alpha_s \, \omega \left( 1 - \delta \right) $$
-Per calcolare il rapporto geometrico di armatura noto $\mu_d$ dobbiamo risolvere l'equazione
-$$\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( k - k' \alpha_s \right)^2 \omega^2
-- \left[ \left( k - k' \, \alpha_s \right) + k' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] \omega + \mu_d = 0$$
-da cui
-$$\omega =
-\frac{\left[ \left( k - k' \, \alpha_s \right) + k' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right] -
-\sqrt{\left[ \left( k - k' \, \alpha_s \right) + k' \, \alpha_s \left( 1 - \delta \right) \right]^2 -
-\frac{\beta_2}{\beta_1} \left( k - k' \alpha_s \right)^2 \mu_d }}
-{2 \, \frac{\beta_2}{\beta_1} \left( k - k' \alpha_s \right)^2} $$
-==== Pressoflessione ====
-Le formule viste per la flessione semplice possono essere applicate anche alla pressoflessione, con alcune accortezze. Usualmente $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ sono calcolati rispetto al baricento della sezione in calcestruzzo, quindi per sezioni rettangolari sono calcolati ad ${h}/{2}$.
-Supponendo $N_{Ed}$ e $M_{Ed}$ positivi, ricalcoliamo $M_{Ed}$ rispetto al punto in cui è localizzata l'armatura tesa, ottenendo
-$$ M_{Ed}^{*} = M_{Ed} - N_{Ed} \, \left( d - \frac{h}{2} \right) $$
-Dividendo per $b \, d^2 \, f_{cd}$
-$$\mu_{d}^{*} = \mu_{d} - \nu_{d} \, \left( 1 - \frac{h}{2 \, d} \right) $$
-A questo punto effettuiamo il dimensionamento della sezione usando il metodo già visto per la flessione semplice, usando il valore $\mu_{d}^{*}$. In questo modo riusciamo a definire le dimensioni della sezione in calcestruzzo e l'area minima per l'armatura tesa $A_{s,min}^{*}$. A quest'ultimo valore dobbiamo aggiungere l'area necessaria per assorbire lo sforzo normale $N_{Ed}$, ottenendo
-$$ A_{s,min} = A_{s,min}^{*} + \frac{N_{Ed}}{\sigma_s}$$
-esprimibile anche nella forma
-$$\omega = \omega^{*} + \frac{\nu_d}{k}$$
-===== Stati Limite di Esercizio =====
-Assumendo un comportamento elastico lineare, in presenza di sola armatura a trazione, calcolando il momento rispetto all'armatura tesa e indicando con $\sigma_c$ la tensione massima ammissibile nel calcestruzzo, il momento massimo cui possiamo sottoporre la sezione è
-$$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$
-Calcolando il momento rispetto alla risultante dello sforzo nel calcestruzzo e indicando con $\sigma_s$ la massima tensione ammissibile nell'acciaio, il momento massimo cui possiamo sottoporre la sezione è
-$$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$
-Qualora la sezione analizzata abbia armature sia in zona tesa che in zona compressa abbiamo
-$$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma'_s \, A'_s (d - d')$$
-$$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \sigma'_s \, A'_s (d - d')$$
-Per riuscire a mettere in relazione i momenti calcolati alle tensioni nel calcestruzzo e nell'acciaio, considerando l'ipotesi di linearità delle tensioni, possiamo scrivere
-$$\sigma'_s = \sigma_s \frac{x_{el} - d'}{d-x_{el}} = \sigma_{s} \frac{\xi_{el} - \delta}{1 - \xi_{el}}$$
-$$\sigma'_s = \alpha_e  \, \sigma_c \left( 1 - \frac{d'}{x_{el}} \right) = \alpha_e \, \sigma_c \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right)$$
-Sostituite nelle formule viste prima ci danno
-$$ M_{Rk} = \sigma_c \left[ \frac{1}{2} \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{d'}{x_{el}} \right) \, A'_s (d - d') \right] $$
-$$ M_{Rk} = \sigma_s \left[ A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) + \frac{x_{el} - d'}{d-x_{el}} \, A'_s (d - d') \right] $$
-===== Relazioni tra SLE e SLU =====
-==== Armatura semplice ====
-Per gli Stati Limite Ultimi
-$$M_{Rd} = f_{cd} \, b \beta_1 \, x_{u} \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$
-$$M_{Rd} = k \, f_{yd} \, A_s \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)$$
-Per gli Stati Limite di Esercizio
-$$ M_{Rk} = \frac{1}{2} \sigma_c \, x_{el} \, b \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$
-$$ M_{Rk} = \sigma_s \, A_{s} \left( d - \frac{x_{el}}{3} \right) $$
-Dividendo le espressioni tra di loro otteniamo
-$$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}}  \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \frac{x_{el} \left( d - x_{el}/3 \right)}{2 \, \beta_1 \, x_{u} \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)}$$
-$$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( d - x_{el}/3 \right)}{k \, \left( d - \beta_2 \, x_{u} \right)}$$
-che, introducendo le grandezze adimensionali
-$$\xi_{el} = \frac{x_{el}}{d}$$
-$$\xi_{u} = \frac{x_{u}}{d}$$
-diventano
-$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c}{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \frac{\xi_{el} \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{2 \, \beta_1 \, \xi_{u} \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}$$
-$$\frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{f_{yk}} \gamma_s \frac{\left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)}  $$
-Per quanto riguardo la verifica a deformazione, applicando il metodo indiretto abbiamo che
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \left( \frac{l}{K \, s} \frac{1}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
-da cui
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{f_{yk}}{\sigma_s} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
-che diventa
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{310}{f_{yk}} \frac{\gamma_s \, \left( 1 - \xi_{el}/3 \right)}{k \, \left( 1 - \beta_2 \, \xi_{u} \right)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
-==== Armatura doppia ====
-Una volta determinato il $\mu_{d,lim}$ come visto al punto precedente, se i vincoli presenti sono tali da non permetterci di rispettare tale parametro, dovremo aggiungere armatura in zona compressa.
-Le relazioni viste sopra vanno perciò modificate per tener conto della presenza di armatura in zona compressa.
-Il momento resistente allo stato limite ultimo calcolato rispetto all'armatura tesa è
-$$M_{Rd} = b \, d^2  \, f_{ck} \frac{\alpha_{cc}}{\gamma_c} \left[ \beta_1 \, \xi_u \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \omega' (1- \delta) \right]$$
-Effettuando il calcolo rispetto alla risultante degli sforzi di compressione nel calcestruzzo
-$$M_{Rd} = b \, d^2  \, f_{yk} \frac{1}{\gamma_s} \left[ k \, \rho \left( 1 - \beta_2 \, \xi_u \right) + k' \, \rho' \left( \beta_2 \, \xi_u - \delta \right) \right] $$
-Calcoliamo gli stessi due momenti nella combinazione di SLE analizzata, ottenendo
-$$M_{Rk} = \sigma_c \, b \, d^2 \left[ \frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho' (1 - \delta) \right]$$
-e
-$$M_{Rk} = \sigma_s \, b \, d^2 \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta)  \right]$$
-Dividendo i momenti nella combinazione di SLE per i momenti allo SLU, otteniamo
-$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_c }{f_{ck}} \frac{\gamma_c}{\alpha_{cc}} \, \frac{\frac{\xi_{el}}{2} \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \alpha_e  \left( 1 - \frac{\delta}{\xi_{el}} \right) \, \rho' (1 - \delta)}{\beta_1 \, \xi_{u} (1 - \beta_2 \, \xi_u)+ k' \, \omega' (1 - \delta) } $$
-$$ \frac{M_{Rk}}{M_{Rd}} = \frac{\sigma_s}{ f_{yk}} \gamma_s  \frac{\rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) }{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi_u) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi_u - \delta)} $$
-Per la verifica a deformazione abbiamo invece
-$$\left( \frac{l_n}{d} \right)_{lim} = \frac{310}{f_{yk}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \frac{ \gamma_s \left[ \rho \left( 1 - \frac{\xi_{el}}{3} \right) + \frac{\xi_{el} - \delta}{1-\xi_{el}} \, \rho' (1 - \delta) \right]}{k \, \rho (1 - \beta_2 \, \xi) + k' \, \rho' (\beta_2 \, \xi - \delta)} \left( \frac{l}{d} \right)_{lim,0}$$
-==== Predimensionamento ====
-Si riporta di seguito un possibile iter logico da seguire per il predimensionamento di una sezione rettangolare:
-  - calcolo $M_{Ed}$ (momento flettente nella combinazione di SLU), $M_{Ek,rara}$ (momento nella combinazione rara di SLE), $M_{Ek,freq}$ (momento nella combinazione frequente di SLE), $M_{Ek,QP}$ (momento nella combinazione quasi permanente di SLE)
-  - fisso il rapporto limite $\left( \sigma_s / f_{yk} \right)$ per ciascuna combinazione di SLE; la scelta di $\sigma_s$ deve essere fatta sulla base della verifica delle tensioni e della verifica dello stato fessurativo secondo il metodo indiretto (e.g. decidiamo di usare barre da 16 e troviamo per ciascuna combinazione il valore massimo della tensione compatibile col diametro scelto)
-  - analogamente fissiamo il rapporto limite $\left( \sigma_c / f_{ck} \right)$
-  - fissiamo un valore di $\xi_{u,lim}$; un valore usualmente adottato è $0,45$; dobbiamo scegliere una delle tabelle che legano $\xi_{u,lim}$ ai parametri individuati sopra; se siamo in zona sismica, dovremo in ogni caso disporre un armatura in zona compressa che sia pari al 25% dell'armatura in zona tesa; pertanto possiamo utilizzare la tabella con $\alpha_s = 0,25$; in corrispondenza di $\xi_{u,lim}$ troviamo
-    * $\mu_{d,lim}$, $\omega_{lim}$
-    * $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{rara}$, $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{freq}$ e $\left( M_{Rk} / M_{Rd} \right)_{QP}$
-    * ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$
-  - determiniamo l'altezza utile minima usando il valore di ${\left( l_n /d \right)_{lim}}$ trovato
-  - a questo punto abbiamo due possibilità
-    * se per ciascuna combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} \le M_{Rk} / M_{Rd}$, effettuiamo il predimensionamento della larghezza della sezione con la formula
-      * $$b_{min} = \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$
-    * se in almeno una combinazione di SLE $M_{Ek} / M_{Ed} > M_{Rk} / M_{Rd}$
-      * $$ k = \max \left\{ \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{rara}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{freq}, \left( \frac{M_{Ek}}{M_{Ed}} \frac{M_{Rd}}{M_{Rk}} \right)_{QP}  \right\} $$
-      * $$b_{min} = k \frac{M_{Ed}}{\mu_{d,lim} \, d^2 \, f_{cd}}$$
-  - infine troviamo l'armatura con la formula
-    * $$A_{s,min} = \frac{\omega_{lim} \, f_{cd} \, b \, d}{f_{yd}}$$
-Se invece l'altezza utile della sezione fosse assegnata, nella scelta di $\xi_{u,lim}$ dovremo verificare che il corrispondente valore di $\left( l_n / d \right)_{lim}$ sia maggiore del rapporto effettivo $\left( l_n / d \right)_{eff}$.

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