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--- scienza_costruzioni:winkler [2013/11/02 16:33]
mickele [Equazione della deformata]
+++ scienza_costruzioni:winkler [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Trave su suolo elastico ======
-===== Reazione del terreno =====
-Il terreno esercita sulla trave una reazione $r(x)$ pari a
-$$r(x) = - k_s \, b \, w(x) = - k'_s \, w(x)$$
-in cui:
-  * $b$ è la larghezza della sezione a contatto con il suolo elastico
-  * $k_s$ è la pressione esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario; è chiamata costante di reazione o costante elastica di sottofondo; ha dimensioni $F \cdot L^{-3}$
-  * $k'_s$ è la forza per unità di lunghezza di trave esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario della trave; è chiamata modulo di reazione ed ha dimensioni $F \cdot L^{-2}$
-Si riportano di seguito alcuni valori indicativi della costante elastica di sottofondo, tratti dal testo di Bowles (JE Bowles - Fondazioni - McGraw-Hill - 1998 - Milano; pag. 439)
-^ Terreno  ^^  $k_s [kN/m^3]$   ^
-| sabbia | sciolta  |  $4.800 \div 16.000$  |
-| ::: | mediamente compatta  |  $9.600 \div 80.000$  |
-| ::: | compatta  |  $64.000 \div 128.000$  |
-| ::: | argillosa mediamente compatta  |  $32.000 \div 80.000$  |
-| ::: | limosa mediamente compatta  |  $24.000 \div 48.000$  |
-| argilla | $q_u \le 200 kPa$  |  $12.000 \div 24.000$  |
-| ::: | $200 kPa < q_u \le 400 kPa$  |  $24.000 \div 48.000$ |
-| ::: | $q_u > 400 kPa$  |  $> 48.000$  |
-===== Equazione della deformata =====
-Trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica vale la relazione
-$$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$
-che derivata due volte diventa
-$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} = q(x)$$
-Nel caso di trave su suolo elastico, la $q(x)$ è pari ad un eventuale carico distribuito $q_0(x)$ cui si somma la reazione del terreno $-r(x)= - k'_s \, w(x)$, vale a dire
-$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + k'_s \, w(x) = q_0(x)$$
-che, con la posizione
-$$\alpha^4 = \frac{k'_s}{4 E J}  $$
-diventa
-$$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$
-La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è
-$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + w_p(x)$$
-in cui $w_p(x)$ è un suo integrale particolare.

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