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Trave su suolo elastico
Reazione del terreno
Il terreno esercita sulla trave una reazione $r(x)$ pari a
$$r(x) = - k_s \, b \, w(x) = - k'_s \, w(x)$$
in cui:
- $b$ è la larghezza della sezione a contatto con il suolo elastico
- $k_s$ è la pressione esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario; è chiamata costante di reazione o costante elastica di sottofondo; ha dimensioni $F \cdot L^{-3}$
- $k'_s$ è la forza per unità di lunghezza di trave esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario della trave; è chiamata modulo di reazione ed ha dimensioni $F \cdot L^{-2}$
Si riportano di seguito alcuni valori indicativi della costante elastica di sottofondo, tratti dal testo di Bowles (JE Bowles - Fondazioni - McGraw-Hill - 1998 - Milano; pag. 439)
Terreno | $k_s [kN/m^3]$ | |
---|---|---|
sabbia | sciolta | $4.800 \div 16.000$ |
mediamente compatta | $9.600 \div 80.000$ | |
compatta | $64.000 \div 128.000$ | |
argillosa mediamente compatta | $32.000 \div 80.000$ | |
limosa mediamente compatta | $24.000 \div 48.000$ | |
argilla | $q_u \le 200 kPa$ | $12.000 \div 24.000$ |
$200 kPa < q_u \le 400 kPa$ | $24.000 \div 48.000$ | |
$q_u > 400 kPa$ | $> 48.000$ |
Equazione della deformata
Trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica vale la relazione
$$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$
che derivata due volte diventa
$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} = q(x)$$
Nel caso di trave su suolo elastico, la $q(x)$ è pari ad un eventuale carico distribuito $q_0(x)$ cui si somma la reazione del terreno $-r(x)= - k'_s \, w(x)$, vale a dire
$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + k'_s \, w(x) = q_0(x)$$
che, con la posizione
$$\alpha^4 = \frac{k'_s}{4 E J} $$
diventa
$$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$
La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è
$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + w_p(x)$$
in cui $w_p(x)$ è un suo integrale particolare.