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scienza_costruzioni:winkler

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Trave su suolo elastico

Reazione del terreno

Il terreno esercita sulla trave una reazione $r(x)$ pari a

$$r(x) = - k_s \, b \, w(x) = - k'_s \, w(x)$$

in cui:

  • $b$ è la larghezza della sezione a contatto con il suolo elastico
  • $k_s$ è la pressione esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario; è chiamata costante di reazione o costante elastica di sottofondo; ha dimensioni $F \cdot L^{-3}$
  • $k'_s$ è la forza per unità di lunghezza di trave esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario della trave; è chiamata modulo di reazione ed ha dimensioni $F \cdot L^{-2}$

Si riportano di seguito alcuni valori indicativi della costante elastica di sottofondo, tratti dal testo di Bowles (JE Bowles - Fondazioni - McGraw-Hill - 1998 - Milano; pag. 439)

Terreno $k_s [kN/m^3]$
sabbia sciolta $4.800 \div 16.000$
mediamente compatta $9.600 \div 80.000$
compatta $64.000 \div 128.000$
argillosa mediamente compatta $32.000 \div 80.000$
limosa mediamente compatta $24.000 \div 48.000$
argilla $q_u \le 200 kPa$ $12.000 \div 24.000$
$200 kPa < q_u \le 400 kPa$ $24.000 \div 48.000$
$q_u > 400 kPa$ $> 48.000$

Equazione della deformata

Trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica vale la relazione

$$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$

che derivata due volte diventa

$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} = q(x)$$

Nel caso di trave su suolo elastico, la $q(x)$ è pari ad un eventuale carico distribuito $q_0(x)$ cui si somma la reazione del terreno $-r(x)= - k'_s \, w(x)$, vale a dire

$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + k'_s \, w(x) = q_0(x)$$

che, con la posizione

$$\alpha^4 = \frac{k'_s}{4 E J} $$

diventa

$$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$

La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è

$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + w_p(x)$$

in cui $w_p(x)$ è un suo integrale particolare.


scienza_costruzioni/winkler.1383406411.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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