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--- scienza_costruzioni:travi:winkler [2014/01/19 18:33]
mickele [Trave illimitata sottoposta ad un carico P]
+++ scienza_costruzioni:travi:winkler [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 26: / Linea 26: @@
-===== Equazione della deformata =====
+===== Equazione della deformata trascurando l'influenza del taglio =====
+Effettueremo una prima analisi del fenomeno trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica. Successivamente faremo venire meno anche tale ipotesi.
+Trascurando quindi l'influenza del taglio sulla linea elastica
+$$\varphi (x) = - \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d} x}$$
-Trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica vale la relazione
 $$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$
@@ Linea 48: / Linea 54: @@
 $$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$
-La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è
+La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è ottenibile sommando all'integrale generale dell'omogenea associata un suo integrale particolare.
-$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + w_p(x)$$
+$$w(x) = w_0 (x) + w_p(x)$$
-in cui $w_p(x)$ è un suo integrale particolare.
+Possiamo verificare agevolmente che l'integrale generale dell'equazione omogenea associata è pari a
+$$w_0(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right)$$
 Supponiamo $q_0(x)$ sia un polinomio al massimo del terzo ordine della variabile x
@@ Linea 58: / Linea 66: @@
 $$q_o (x) = a_0 + a_1 \, x + a_2 \, x^2 + a_3 \, x^3 $$
-Notiamo che di fatto l'ipotesi appena introdotta non è limitativa poiché copre ampiamente tutti i casi di interesse pratico.
+Osserviamo che di fatto l'ipotesi appena introdotta non è limitativa poiché copre ampiamente i casi di interesse pratico. Sotto tale ipotesi la derivata quarta dei carichi trasversali applicati è nulla
-La scleta appena fatta nasce dall'esigenza di annullare la derivata quarta
+$$\frac{\mathrm{d}^4 q_0}{\mathrm{d}x^4} = 0 $$
-$$\frac{\mathrm{d}^4 q_o}{\mathrm{d}x^4} = 0 $$
+In questo modo l'integrale particolare dell'equazione differenziale può essere assunto pari a
-In questo modo infatti l'integrale particolare può essere assunto pari a
+$$ w_p(x) = \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_0(x)$$
-$$ w_p(x) = \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_o(x)$$
+L'integrale generale cercato assume pertanto la forma
-===== Casistica =====
+$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_0(x)$$
+Determineremo le quattro costanti $C_1$, $C_2$, $C_3$ e $C_4$ imponendo le condizioni al contorno.
+===== Esempi applicativi =====
 Si consideri una trave infinita soggetta ad azioni localizzate su un punto. Per $z \to \infty$, $w(x) = 0$. Per verificare questa condizione dovremo avere, conriferimento ai coefficienti della soluzione generale vista al paragrafo precedente, $C_3 = C_4 = 0$. La soluzione diventa quindi
@@ Linea 80: / Linea 92: @@
 $$ M(x) = - E \, I_{yy} \, \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^2 \, e^{- \alpha x} \left( C_2 \sin \alpha x - C_1 \cos \alpha x \right) $$
-$$T(x) = \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \, e^{- \alpha x} \left[ \left( C_1 - C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 + C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$
+$$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \, e^{- \alpha x} \left[ \left( C_1 - C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 + C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$
-===== Trave illimitata sottoposta ad un carico P =====
+==== Trave illimitata sottoposta ad un carico P ====
 Applichiamo un carico $P$ in $x = 0$.
@@ Linea 102: / Linea 115: @@
 $$- 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \left( C_1 + C_2 \right) = - \frac{P}{2} \Longrightarrow C_1 = C_2 = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} $$
+I valori cercati sono
+$$w(x) = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} e^{- \alpha x} \left( \sin \alpha x + \cos \alpha x \right)$$
+$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \frac{1}{4} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^2}  \, e^{- \alpha x} \sin \alpha x $$
+$$ M(x) = - \frac{1}{4} \frac{P}{\alpha}  \, e^{- \alpha x} \left( \sin \alpha x - \cos \alpha x \right) $$
+$$T(x) = - \frac{P}{2} e^{- \alpha x} \cos \alpha x $$
+===== Equazione della deformata con influenza del taglio =====
+Calcoleremo ora l'equazione della linea elastica della trave su suolo elastico, considerando l'influenza del taglio. Poiché le trave di fondazione sono travi tozze, la seguente trattazione dovrebbe avere un significativo riscontro applicativo. Di fatto la maggior precisione del presente modello si perde nell'estrema variabilità della costante di sottofondo.
+Dall'equilibrio a rotazione di un concio infinitesimo
+$$m(x) + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} - T(x) = 0$$
+che derivata una volta rispetto ad $x$ diventa
+$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} - \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = 0$$
+Dall'equilibrio a traslazione dello stesso concio infinitesimo otteniamo
+$$ \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} + q(x) = 0 \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q(x)$$
+che, sostituita nella prima dà
+$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q(x) = 0$$
+Sostituendo il valore del carico distribuito nell'ipotesi di suolo elastico
+$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + \frac{\mathrm{d}^2 M}{\mathrm{d}x^2} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$
+Le ipotesi di De Saint Venant ci permettono di scrivere
+$$M = E \, J \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} $$
+che sotituita nella precedente equazione ci dà
+$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} + E \, J \frac{\mathrm{d}^3 \varphi}{\mathrm{d}x^3} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$
+L'ipotesi di conservazione delle sezioni piane, con la trattazione di Jourawsky, ci permette di scrivere la relazione
+$$\varphi(x) = \frac{\chi}{G A} T - \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}$$
+Deriviamola una volta
+$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$
+Sostituendo l'espressione del carico distribuito, arriviamo a scrivere
+$$\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = \frac{\chi}{G A} \left( - q_0(x) + k_s' \, w \right) - \frac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2}$$
+che, derivata due volte, diventa
+$$\frac{\mathrm{d}^3\varphi}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\chi}{G A} \left( - \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + k_s' \, \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} \right) - \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4}$$
+Sostituiamo il valore della derivata terza di $\varphi$ nella relazione scritta prima, ottenendo
+$$\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \chi \frac{E \, J }{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \chi \frac{E \, J }{G \, A} k_s' \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} - E \, J \frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} + q_0(x) - k_s' \, w (x)= 0$$
+esprimibile anche nella forma
+$$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - k_s' \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + \frac{k_s'}{E \, J} \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$
+Sostituendo il valore di $\alpha$ visto ai paragrafi precedenti e introducendo il parametro $\beta$ così definito
+$$\beta^4 = \frac{1}{4} k_s' \frac{\chi}{G \, A}$$
+l'equazione diventa
+$$\frac{\mathrm{d}^4w}{\mathrm{d}x^4} - 4 \beta^4 \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} + 4 \alpha^4 \, w (x) = \frac{1}{E \, J} \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} - \frac{\chi}{G \, A} \frac{\mathrm{d}^2 q_0}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{E \, J} q_0(x)$$
+Anche in questo caso l'integrale del'equazione sarà pari all'integrale generale dell'omogena associata più un integrale particolare.
+Le soluzioni dell'omogenea associata sono sempre funzioni esponenziali del tipo
+$$w_0 (x) = e^{p x} $$
+con $p \in \mathbb{C}$
+Si costruiscono le derivate successive della funzione e si sostituisce nell'equazione, ottenendo l'equazione caratteristica associata
+$$p^4 - 4 \beta^4 \, p^2 + 4 \, \alpha^4 = 0$$
+le cui radici sono
+$$p_{1,2}^2 = \left( 2 \beta^4 \pm 2 i \sqrt{ \alpha^4 - \beta^8 } \right) $$
 ====== Limiti della teoria ======
@@ Linea 110: / Linea 214: @@
   * una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, sulla base della teoria appena vista, avrebbe una reazione vincolare speculare al carico, e, conseguentemente, sollecitazioni nulle.
-Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per la progettazione di strutture di fondazioni superficiali per la sua semplicità. Modelli più complessi presuppongono indagini geotecniche articolate e costose che forniscono parametri comunque affetti da errori che spesso vanificano la maggiore complessità dell'analisi. Può essere allora preferibile utilizzare il modello su suolo elastico assumendo per la costante di sottofondo, piuttosto che un unico valore, un intervallo di variazione; conseguentemente otterremo un inviluppo delle sollecitazioni agenti.
+Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per valutare l'interazione suolo-struttura per la sua semplicità. Modelli più complessi presuppongono indagini geotecniche articolate e costose che forniscono parametri comunque affetti da errori che spesso vanificano la maggiore complessità dell'analisi. Può essere allora preferibile utilizzare il modello su suolo elastico assumendo per la costante di sottofondo, piuttosto che un unico valore, un intervallo di variazione; conseguentemente otterremo un inviluppo delle sollecitazioni agenti.

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