Il terreno esercita sulla trave una reazione $r(x)$ pari a

$$r(x) = - k_s \, b \, w(x) = - k'_s \, w(x)$$

in cui:

• $b$ è la larghezza della sezione a contatto con il suolo elastico
• $k_s$ è la pressione esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario; è chiamata costante di reazione o costante elastica di sottofondo; ha dimensioni $F \cdot L^{-3}$
• $k'_s$ è la forza per unità di lunghezza di trave esercitata dal terreno a seguito di un abbassamento unitario della trave; è chiamata modulo di reazione ed ha dimensioni $F \cdot L^{-2}$

Si riportano di seguito alcuni valori indicativi della costante elastica di sottofondo, tratti dal testo di Bowles (JE Bowles - Fondazioni - McGraw-Hill - 1998 - Milano; pag. 439)

Trascurando l'influenza del taglio sulla linea elastica vale la relazione

$$EJ \frac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} = - M(x)$$

che derivata due volte diventa

$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} = q(x)$$

Nel caso di trave su suolo elastico, la $q(x)$ è pari ad un eventuale carico distribuito $q_0(x)$ cui si somma la reazione del terreno $-r(x)= - k'_s \, w(x)$, vale a dire

$$EJ \frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + k'_s \, w(x) = q_0(x)$$

che, con la posizione

$$\alpha^4 = \frac{k'_s}{4 E J} $$

diventa

$$\frac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d}x^4} + 4 \alpha^4 \, w(x) = q_0(x)$$

La soluzione di questa equazione differenziale di quarto ordine è

$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right) + e^{\alpha x} \left( C_3 \sin \alpha x + C_4 \cos \alpha x \right) + w_p(x)$$

in cui $w_p(x)$ è un suo integrale particolare.

Supponiamo $q_0(x)$ sia un polinomio al massimo del terzo ordine della variabile x

$$q_o (x) = a_0 + a_1 \, x + a_2 \, x^2 + a_3 \, x^3 $$

Notiamo che di fatto l'ipotesi appena introdotta non è limitativa poiché copre ampiamente tutti i casi di interesse pratico.

La scleta appena fatta nasce dall'esigenza di annullare la derivata quarta

$$\frac{\mathrm{d}^4 q_o}{\mathrm{d}x^4} = 0 $$

In questo modo infatti l'integrale particolare può essere assunto pari a

$$ w_p(x) = \frac{1}{4 \, \alpha^4} q_o(x)$$

Si consideri una trave infinita soggetta ad azioni localizzate su un punto. Per $z \to \infty$, $w(x) = 0$. Per verificare questa condizione dovremo avere, conriferimento ai coefficienti della soluzione generale vista al paragrafo precedente, $C_3 = C_4 = 0$. La soluzione diventa quindi

$$w(x) = e^{- \alpha x} \left( C_1 \sin \alpha x + C_2 \cos \alpha x \right)$$

Derivando otteniamo

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = \alpha \, e^{- \alpha x} \left[ - \left( C_1 + C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 - C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$

$$ M(x) = - E \, I_{yy} \, \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^2 \, e^{- \alpha x} \left( C_2 \sin \alpha x - C_1 \cos \alpha x \right) $$

$$T(x) = \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \, e^{- \alpha x} \left[ \left( C_1 - C_2 \right) \sin \alpha x + \left( C_1 + C_2 \right) \cos \alpha x \right] $$

Applichiamo un carico $P$ in $x = 0$.

La simmetria della configurazione strutturale ci permette di scrivere

$$\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d}x} (0) = 0$$

Sostituendo otteniamo

$$\alpha \left( C_1 - C_2 \right) = 0 \Longrightarrow C_1 = C_2 $$

Inoltre il taglio dovrà presentare in 0 una discontinuità pari a $P$. Sempre la simmetria della struttura ci permette di scrivere che

$$T (0^{+}) = - \frac{P}{2}$$

$$T (0^{-}) = \frac{P}{2}$$

Sostituendo i valori della prima nell'equazione di sopra abbiamo

$$- 2 \, E \, I_{yy} \, \alpha^3 \left( C_1 + C_2 \right) = - \frac{P}{2} \Longrightarrow C_1 = C_2 = \frac{1}{8} \frac{P}{E \, I_{yy} \, \alpha^3} $$

Tale teoria cade in difetto in alcuni punti:

• il terreno è un mezzo continuo, di conseguenza non si deforma solo all'interno dell'impronta di carico;
• il modulo di Winkler non è una grandezza fisica: è un artificio matematico che dipende dalla stato tensionale/deformativo oltre che dalla storia di carico;
• una trave continua soggetta a soli carichi distribuiti, sulla base della teoria appena vista, avrebbe una reazione vincolare speculare al carico, e, conseguentemente, sollecitazioni nulle.

Ciononostante il modello di Winkler trova larghissimo impiego per la progettazione di strutture di fondazioni superficiali per la sua semplicità. Modelli più complessi presuppongono indagini geotecniche articolate e costose che forniscono parametri comunque affetti da errori che spesso vanificano la maggiore complessità dell'analisi. Può essere allora preferibile utilizzare il modello su suolo elastico assumendo per la costante di sottofondo, piuttosto che un unico valore, un intervallo di variazione; conseguentemente otterremo un inviluppo delle sollecitazioni agenti.