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--- scienza_costruzioni:travi:timoshenko [2013/11/20 16:44]
mickele [Analisi cinematica]
+++ scienza_costruzioni:travi:timoshenko [2021/06/13 13:09]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Trave di Timoshenko ======
-Con l'espressione "trave di Timoshenko" si intende riferirsi all'analisi di una trave rettilinea nella quale non si trascuri l'influenza del taglio sulla linea elastica, in contrapposizione a quanto già visto a proposito della [[scienza_costruzioni:travi:bernoulli|Trave di Eulero-Bernoulli]].
-===== Analisi cinematica =====
-La teoria di Timoshenko analizza il comportamento di una trave rettilinea considerando l'influenza del taglio sulla linea elastica.
-L'ipotesi cinematica fondamentale è che, pur valendo la conservazione delle sezioni piane, viene meno l'ortogonalità tra la linea elastica e la sezione della trave.
-Pertanto, nel caso piano, gli spostamenti di un generico punto della trave sono esprimibili nella forma
-$$u(x,z) = u_0(x) + \varphi(x) \; z$$
-$$w(x,z) = w_0(x)$$
-in cui:
-  * $u_0(x)$ e $w_0(x)$ sono gli spostamenti del baricentro della sezione; ricordiamo che l'insieme dei baricentri delle sezioni della trave ne descrive l'asse;
-  * $\varphi(x)$ è la rotazione della sezione rispetto alla verticale.
-Noti gli spostamenti, ricaviamo le deformazioni
-$$\gamma_{x,z} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} =  \frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d} x} + \varphi$$
-$$\varepsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} z $$
-Ricapitolando
-$$\gamma_{m,xz} = \frac{\mathrm{d} w_0}{\mathrm{d}x} + \varphi$$
-$$\varepsilon_x = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} z $$
-che lega:
-  * lo scorrimento angolare medio $\gamma_{m,z}$
-  * la rotazione della sezione rispetto alla verticale $\varphi$
-  * lo spostamento lungo l'asse della trave $u(x)$
-  * lo spostamento trasversale dell'asse della trave $w(x)$
-===== Analisi statica =====
-L'analisi statica coincide con quanto già visto nel caso si trascuri l'influenza del tagli sulla linea elastica (vedi l'analisi statica in [[scienza_costruzioni:travi:bernoulli|Trave di Eulero-Bernoulli]]).
-===== Linea elastica =====
-Analizziamo nello spazio bidimensionale una trave considerando l'influenza del taglio sulla linea elastica
-Sotto le ipotesi di comportamento elastico lineare, esistono i seguenti legami:
-  * tra momento e rotazione della sezione
-$$M = E J \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x}$$
-  * tra taglio e scorrimento angolare medio
-$$T = \frac{G A}{\chi} \gamma_{m,z}$$
-  * tra sforzo normale e deformazione assiale
-$$N = E A \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}$$
-Supponiamo inoltre che sulla trave agiscano carichi distribuiti con un andamento lineare, secondo le relazioni
-  * carichi assiali
-  $$p(x) = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{l} x = p_1 + \frac{\Delta p}{l} x$$
-  * carichi trasversali
-  $$q(x) = q_1 + \frac{q_2 - q_1}{l} x = q_1 + \frac{\Delta q}{l} x$$
-  * coppie
-  $$m(x) = m_1 + \frac{m_2 - m_1}{l} x = m_1 + \frac{\Delta m}{l} x$$
-L'analisi dell'equilibrio a traslazione verticale di un concio di trave infinitesimo ci permette di scrivere
-$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} + q(x) = 0
-\Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q(x)$$
-Analizzando l'equilibrio a rotazione possiamo invece scrivere
-$$- T + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} + m = 0
-\Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} = T - m$$
-Derivando otteniamo
-$$\frac{\mathrm{d^2} M}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d^2} M}{\mathrm{d}x^2} = - \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \right)$$
-Ricorrendo al legame visto sopra tra momento e curvatura, nell'ipotesi $EJ = cost$, otteniamo
-$$\frac{\mathrm{d^3} \varphi}{\mathrm{d}x^3} = - \frac{1}{EJ} \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \right)$$
-Sostituendo le espressioni dei carichi distribuiti
-$$\frac{\mathrm{d^3} \varphi}{\mathrm{d}x^3} = - \frac{1}{EJ} \left( \frac{\Delta q}{l} x + q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right)$$
-Integrando due volte tale relazione otteniamo
-$$\frac{\mathrm{d^2} \varphi}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{2 l} x^2 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) x \right] + C_1$$
-$$\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{6 l} x^3 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} \right] + C_1 \, x + C_2 $$
-Le ipotesi di Timoshenko ci permettono di scrivere
-$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \varphi + \gamma_{m,z}
-\Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \varphi + \frac{\chi}{G A} T$$
-che derivata diventa
-$$\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} x} + \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x}
-\Longrightarrow
-\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - \left( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} x} + \frac{\chi}{G A} q(x) \right)$$
-Sostituendo il valore di ${\mathrm{d}\varphi}/{\mathrm{d} x}$ trovato prima
-$$\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{6 l} x^3 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2}  \right] - \frac{\chi}{G A} \left( \frac{\Delta q }{l} x + q_1 \right) - C_1 \, x - C_2$$
-Integrando due volte questa espressione troviamo
-$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 l} x^4  + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(q_1 \, x + \frac{\Delta q }{2 l} x^2 \right) - \frac{C_1}{2} x^2 - C_2 \, x + C_3 $$
-e infine
-$$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3  + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$
-Per ottenere $\varphi(x)$, consideriamo che è pari a
-$$\varphi (x) = - \frac{\mathrm{d}w }{\mathrm{d}x} + \frac{\chi}{G A} T $$
-Il taglio è dato da
-$$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} + m (x) = EJ \frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}x^2} + m(x) \Longrightarrow
-T(x) = - \frac{\Delta q}{2 l} x^2 - q_1 \, x + C_1 \, EJ + m_1$$
-Sostituendo la seconda nella prima
-$$\varphi(x) =  - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] +  \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$
-Rimane da determinare il momento, che sarà pari a
-$$M(x) = EJ \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = - \frac{\Delta q}{6 l} x^3  - \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} + EJ \left( C_1 \, x + C_2 \right) $$
-Passiamo ora al calcolo della componente dello spostamento lungo l'asse x. Si parte stavolta dall'equilibrio a traslazione orizzontale di un tratto infinitesimo di trave
-$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x} = - p(x) = - \left( \frac{\Delta p}{l} x + p_1 \right)$$
-Integrando otteniamo
-$$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x  + C_5$$
-Ricordando la relazione tra sforzo normale e derivata prima dello spostamento assiale scriviamo
-$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x  + C_5 \right)$$
-che integrata dà
-$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2  + C_5 \, x \right) + C_6$$
-Ricapitolando, abbiamo ottenuto gli spostamenti
-$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2  + C_5 \, x \right) + C_6$$
-$$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3 + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$
-$$\varphi(x) =  - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] +  \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$
-e le caratteristiche di sollecitazione
-$$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x  + C_5$$
-$$T(x) = - \frac{\Delta q}{2 l} x^2 - q_1 \, x + m_1 + C_1 \, EJ$$
-$$M(x) = - \frac{\Delta q}{6 l} x^3  - \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} + EJ \left( C_1 \, x + C_2 \right) $$
-Per determinare le costanti di integrazione $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$ e $C_6$, dobbiamo imporre 6 condizioni al contorno, ciascuna delle quali potrà essere:
-  * di tipo //cinematico//, se riguarda uno degli spostamenti,
-  * di tipo //statico//, se riguarda una delle caratteristiche di sollecitazione.

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