Strumenti Utente



scienza_costruzioni:travi:timoshenko

Questa è una vecchia versione del documento!


Trave di Timoshenko

Con l'espressione “trave di Timoshenko” si intende riferirsi all'analisi di una trave rettilinea nella quale non si trascuri l'influenza del taglio sulla linea elastica, in contrapposizione a quanto già visto a proposito della Trave di Eulero-Bernoulli.

Analisi cinematica

La teoria di Timoshenko analizza il comportamento di una trave rettilinea considerando l'influenza del taglio sulla linea elastica. L'ipotesi cinematica fondamentale è che, pur valendo la conservazione delle sezioni piane, viene meno l'ortogonalità tra la linea elastica e la sezione della trave.

Pertanto, nel caso piano, gli spostamenti di un generico punto della trave sono esprimibili nella forma

$$u(x,z) = u_0(x) + \varphi(x) \; z$$

$$w(x,z) = w_0(x)$$

in cui:

  • $u_0(x)$ e $w_0(x)$ sono gli spostamenti del baricentro della sezione; ricordiamo che l'insieme dei baricentri delle sezioni della trave ne descrive l'asse;
  • $\varphi(x)$ è la rotazione della sezione rispetto alla verticale.

Noti gli spostamenti, ricaviamo le deformazioni

$$\gamma_{x,z} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\mathrm{d}w_0}{\mathrm{d} x} + \varphi$$

$$\varepsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} z $$

Ricapitolando

$$\gamma_{m,xz} = \frac{\mathrm{d} w_0}{\mathrm{d}x} + \varphi$$

$$\varepsilon_x = \frac{\mathrm{d}u_0}{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} z $$

che lega:

  • lo scorrimento angolare medio $\gamma_{m,z}$
  • la rotazione della sezione rispetto alla verticale $\varphi$
  • lo spostamento lungo l'asse della trave $u(x)$
  • lo spostamento trasversale dell'asse della trave $w(x)$

Analisi statica

L'analisi statica coincide con quanto già visto nel caso si trascuri l'influenza del tagli sulla linea elastica (vedi l'analisi statica in Trave di Eulero-Bernoulli).

Linea elastica

Analizziamo nello spazio bidimensionale una trave considerando l'influenza del taglio sulla linea elastica

Sotto le ipotesi di comportamento elastico lineare, esistono i seguenti legami:

  • tra momento e rotazione della sezione

$$M = E J \frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x}$$

  • tra taglio e scorrimento angolare medio

$$T = \frac{G A}{\chi} \gamma_{m,z}$$

  • tra sforzo normale e deformazione assiale

$$N = E A \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d}x}$$

Supponiamo inoltre che sulla trave agiscano carichi distribuiti con un andamento lineare, secondo le relazioni

  • carichi assiali

$$p(x) = p_1 + \frac{p_2 - p_1}{l} x = p_1 + \frac{\Delta p}{l} x$$

  • carichi trasversali

$$q(x) = q_1 + \frac{q_2 - q_1}{l} x = q_1 + \frac{\Delta q}{l} x$$

  • coppie

$$m(x) = m_1 + \frac{m_2 - m_1}{l} x = m_1 + \frac{\Delta m}{l} x$$

L'analisi dell'equilibrio a traslazione verticale di un concio di trave infinitesimo ci permette di scrivere

$$\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} + q(x) = 0 \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = - q(x)$$

Analizzando l'equilibrio a rotazione possiamo invece scrivere

$$- T + \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} + m = 0 \Longrightarrow \frac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d}x} = T - m$$

Derivando otteniamo

$$\frac{\mathrm{d^2} M}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2} M}{\mathrm{d}x^2} = - \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \right)$$

Ricorrendo al legame visto sopra tra momento e curvatura, nell'ipotesi $EJ = cost$, otteniamo

$$\frac{\mathrm{d^3} \varphi}{\mathrm{d}x^3} = - \frac{1}{EJ} \left( q(x) + \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x} \right)$$

Sostituendo le espressioni dei carichi distribuiti

$$\frac{\mathrm{d^3} \varphi}{\mathrm{d}x^3} = - \frac{1}{EJ} \left( \frac{\Delta q}{l} x + q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right)$$

Integrando due volte tale relazione otteniamo

$$\frac{\mathrm{d^2} \varphi}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{2 l} x^2 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) x \right] + C_1$$

$$\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d}x} = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{6 l} x^3 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} \right] + C_1 \, x + C_2 $$

Le ipotesi di Timoshenko ci permettono di scrivere

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \varphi + \gamma_{m,z} \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = - \varphi + \frac{\chi}{G A} T$$

che derivata diventa

$$\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} x} + \frac{\chi}{G A} \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d} x} \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = - \left( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d} x} + \frac{\chi}{G A} q(x) \right)$$

Sostituendo il valore di ${\mathrm{d}\varphi}/{\mathrm{d} x}$ trovato prima

$$\frac{\mathrm{d^2}w}{\mathrm{d}x^2} = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{6 l} x^3 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} \right] - \frac{\chi}{G A} \left( \frac{\Delta q }{l} x + q_1 \right) - C_1 \, x - C_2$$

Integrando due volte questa espressione troviamo

$$\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(q_1 \, x + \frac{\Delta q }{2 l} x^2 \right) - \frac{C_1}{2} x^2 - C_2 \, x + C_3 $$

e infine

$$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3 + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$

Per ottenere $\varphi(x)$, consideriamo che è pari a

$$\varphi (x) = - \frac{\mathrm{d}w }{\mathrm{d}x} + \frac{\chi}{G A} T $$

Il taglio è dato da

$$T(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} + m (x) = EJ \frac{\mathrm{d^2}\varphi}{\mathrm{d}x^2} + m(x) \Longrightarrow T(x) = - \frac{\Delta q}{2 l} x^2 - q_1 \, x + C_1 \, EJ + m_1$$

Sostituendo la seconda nella prima

$$\varphi(x) = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] + \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$

Rimane da determinare il momento, che sarà pari a

$$M(x) = EJ \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = - \frac{\Delta q}{6 l} x^3 - \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} + EJ \left( C_1 \, x + C_2 \right) $$

Passiamo ora al calcolo della componente dello spostamento lungo l'asse x. Si parte stavolta dall'equilibrio a traslazione orizzontale di un tratto infinitesimo di trave

$$\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}x} = - p(x) = - \left( \frac{\Delta p}{l} x + p_1 \right)$$

Integrando otteniamo

$$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x + C_5$$

Ricordando la relazione tra sforzo normale e derivata prima dello spostamento assiale scriviamo

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x + C_5 \right)$$

che integrata dà

$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2 + C_5 \, x \right) + C_6$$

Ricapitolando, abbiamo ottenuto gli spostamenti

$$u(x) = \frac{1}{EA} \left( - \frac{\Delta p}{6 l} x^3 - \frac{p_1}{2} x^2 + C_5 \, x \right) + C_6$$

$$w(x) = \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{120 \,l} x^5 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^4}{24} \right] - \frac{\chi}{G A} \left(\frac{\Delta q }{6 l} x^3 + \frac{q_1}{2} x^2 \right) - \frac{C_1}{6} x^3 - \frac{C_2}{2} x^2 + C_3 \, x + C_4$$

$$\varphi(x) = - \frac{1}{EJ} \left[ \frac{\Delta q}{24 \, l} x^4 + \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^3}{6} \right] + \frac{\chi}{G A} \left( C_1 \, E J + m_1 \right) + \frac{C_1}{2} x^2 + C_2 \, x - C_3 $$

e le caratteristiche di sollecitazione

$$N(x) = - \frac{\Delta p}{2 l} x^2 - p_1 \, x + C_5$$

$$T(x) = - \frac{\Delta q}{2 l} x^2 - q_1 \, x + m_1 + C_1 \, EJ$$

$$M(x) = - \frac{\Delta q}{6 l} x^3 - \left( q_1 + \frac{\Delta m}{l} \right) \frac{x^2}{2} + EJ \left( C_1 \, x + C_2 \right) $$

Per determinare le costanti di integrazione $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$ e $C_6$, dobbiamo imporre 6 condizioni al contorno, ciascuna delle quali potrà essere:

  • di tipo cinematico, se riguarda uno degli spostamenti,
  • di tipo statico, se riguarda una delle caratteristiche di sollecitazione.

scienza_costruzioni/travi/timoshenko.1384962249.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:09 (modifica esterna)

Facebook Twitter Google+ Digg Reddit LinkedIn StumbleUpon Email