scienza_costruzioni:torsione
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scienza_costruzioni:torsione [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Torsione ====== | ||
- | |||
- | ===== Torsione di travi a sezione circolare ===== | ||
- | |||
- | Supponiamo che la soluzione sia definita dal seguente campo di spostamenti | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\eta} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | u \\\\ | ||
- | v \\\\ | ||
- | w | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | - \Theta_x \, x \, z \\\\ | ||
- | \Theta_x \, x \, y | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Otteniamo di conseguenza il seguente campo deformativo | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\epsilon} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \epsilon_x \\\\ | ||
- | \epsilon_y \\\\ | ||
- | \epsilon_z \\\\ | ||
- | \gamma_{xy} \\\\ | ||
- | \gamma_{xz} \\\\ | ||
- | \gamma_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | - \Theta_x \, z \\\\ | ||
- | \Theta_x \, y \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Tale campo deformativo, | ||
- | |||
- | A sua volta associamo a questo campo deformativo il campo tensionale | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\sigma} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \sigma_x \\\\ | ||
- | \sigma_y \\\\ | ||
- | \sigma_z \\\\ | ||
- | \tau_{xy} \\\\ | ||
- | \tau_{xz} \\\\ | ||
- | \tau_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | - G \, \Theta_x \, z \\\\ | ||
- | G \, \Theta_x \, y \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | Si verifica facilmente che questo campo tensionale rispetta le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni al contorno statiche. | ||
- | |||
- | Se calcoliamo il modulo dello tensione tangeziale otteniamo | ||
- | |||
- | $$\tau_x = \sqrt{\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2} = G \, \Theta_x \sqrt{z^2 + y^2} = G \, \Theta_x r$$ | ||
- | |||
- | La tensione tangenziale in un punto del nostro solido è quindi proporzionale alla relativa distanza dal baricentro. | ||
- | |||
- | Integrando le tensioni agenti sulla seziona otteniamo | ||
- | |||
- | $$ \iint\limits_S (\tau_{xz} \, y - \tau_{xy} \, z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = M_{x}$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$ M_x = G\, \Theta_x \iint\limits_S ( y^2 + z^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = G\, \Theta_x \, I_x$$ | ||
- | |||
- | in cui $I_x$ è il momento di inerzia polare della sezione. Possiamo così calcolare l' | ||
- | |||
- | $$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, | ||
- | |||
- | ===== Torsione di travi generiche ===== | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\eta} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | u \\\\ | ||
- | v \\\\ | ||
- | w | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \Theta_x \, \omega(y,z) \\\\ | ||
- | - \Theta_x \, x \, (z - z_c) \\\\ | ||
- | \Theta_x \, x \, (y - y_c) | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\epsilon} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \epsilon_x \\\\ | ||
- | \epsilon_y \\\\ | ||
- | \epsilon_z \\\\ | ||
- | \gamma_{xy} \\\\ | ||
- | \gamma_{xz} \\\\ | ||
- | \gamma_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | $$\mathbf{\sigma} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | \sigma_x \\\\ | ||
- | \sigma_y \\\\ | ||
- | \sigma_z \\\\ | ||
- | \tau_{xy} \\\\ | ||
- | \tau_{xz} \\\\ | ||
- | \tau_{yz} | ||
- | \end{Bmatrix} = | ||
- | \begin{Bmatrix} | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | 0 \\\\ | ||
- | G \, \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | G \, \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ | ||
- | 0 | ||
- | \end{Bmatrix}$$ | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$ | ||
- | |||
- | ci porta a scrivere | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$ | ||
- | |||
- | Sulla superficie esterna del solido abbiamo tensioni nulle, quindi | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \sigma_x \, n_x + \tau_{xy} \, n_y + \tau_{xz} \, n_z = 0$$ | ||
- | |||
- | Sostituendo otteniamo | ||
- | |||
- | $$ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y + | ||
- | | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | Per definire anche $y_c$ e $z_c$ imponiamo $T_y = 0$ e $T_z = 0$, ottenendo | ||
- | |||
- | $$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xy} \, \mathrm{d}A = - G \, \Theta_x | ||
- | |||
- | $$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xz} \, \mathrm{d}A = G \, \Theta_x | ||
- | |||
- | Le coordinate del centro di taglio sono allora date da | ||
- | |||
- | $$z_c = - \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, \mathrm{d}A | ||
- | |||
- | $$y_c = \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, \mathrm{d}A | ||
- | |||
- | Applicando il teorema di Green | ||
- | |||
- | $$z_c = - \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s | ||
- | |||
- | $$y_c = \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s | ||
- | |||
- | Ricapitolando quanto fin qui ottenuto, riusciamo quindi a definire la funzione $\omega(y, | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$ | ||
- | |||
- | e dalla condizione al contorno, valida sul perimetro della sezione | ||
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- | $$ - \left( z + \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s \right) + | ||
- | | ||
- | | ||
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- | Nota $\omega(x, | ||
- | ===== Torsione di travi a sezione sottile aperta ===== | ||
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- | ===== Torsione di travi a sezione sottile chiusa ===== | ||
scienza_costruzioni/torsione.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)