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Torsione
Torsione di travi a sezione circolare
Supponiamo che la soluzione sia definita dal seguente campo di spostamenti
$$\mathbf{\eta} = \begin{Bmatrix} u \\\\ v \\\\ w \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ - \Theta_x \, x \, z \\\\ \Theta_x \, x \, y \end{Bmatrix}$$
Otteniamo di conseguenza il seguente campo deformativo
$$\mathbf{\epsilon} = \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\\\ \epsilon_y \\\\ \epsilon_z \\\\ \gamma_{xy} \\\\ \gamma_{xz} \\\\ \gamma_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ - \Theta_x \, z \\\\ \Theta_x \, y \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
Tale campo deformativo, per come è stato costruito, certamente rispetterà le equazioni di congruenza.
A sua volta associamo a questo campo deformativo il campo tensionale
$$\mathbf{\sigma} = \begin{Bmatrix} \sigma_x \\\\ \sigma_y \\\\ \sigma_z \\\\ \tau_{xy} \\\\ \tau_{xz} \\\\ \tau_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ - G \, \Theta_x \, z \\\\ G \, \Theta_x \, y \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
Si verifica facilmente che questo campo tensionale rispetta le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni al contorno statiche.
Se calcoliamo il modulo dello tensione tangeziale otteniamo
$$\tau_x = \sqrt{\tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2} = G \, \Theta_x \sqrt{z^2 + y^2} = G \, \Theta_x r$$
La tensione tangenziale in un punto del nostro solido è quindi proporzionale alla relativa distanza dal baricentro.
Integrando le tensioni agenti sulla seziona otteniamo
$$ \iint\limits_S (\tau_{xz} \, y - \tau_{xy} \, z) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = M_{x}$$
da cui
$$ M_x = G\, \Theta_x \iint\limits_S ( y^2 + z^2) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = G\, \Theta_x \, I_x$$
in cui $I_x$ è il momento di inerzia polare della sezione. Possiamo così calcolare l'angolo di rotazione unitario $\Theta_x$
$$\Theta_x = \frac{M_x}{G\, I_p}$$
Torsione di travi generiche
$$\mathbf{\eta} = \begin{Bmatrix} u \\\\ v \\\\ w \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \Theta_x \, \omega(y,z) \\\\ - \Theta_x \, x \, (z - z_c) \\\\ \Theta_x \, x \, (y - y_c) \end{Bmatrix}$$
$$\mathbf{\epsilon} = \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\\\ \epsilon_y \\\\ \epsilon_z \\\\ \gamma_{xy} \\\\ \gamma_{xz} \\\\ \gamma_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
$$\mathbf{\sigma} = \begin{Bmatrix} \sigma_x \\\\ \sigma_y \\\\ \sigma_z \\\\ \tau_{xy} \\\\ \tau_{xz} \\\\ \tau_{yz} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ G \, \Theta_x \left[ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \\\\ G \, \Theta_x \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$
L'applicazione dell'equazione indefinita di equilibrio
$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0$$
ci porta a scrivere
$$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$
Sulla superficie esterna del solido abbiamo tensioni nulle, quindi
$$\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \sigma_x \, n_x + \tau_{xy} \, n_y + \tau_{xz} \, n_z = 0$$
Sostituendo otteniamo
$$ - (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y + (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, n_z = 0$$
L'equazione vista prima unita a quest'ultima condizione al contorno costituirebbero un problema differenziale che ammette soluzione (problema di Neumann), se non fosse per la presenza delle coordinate del centro di taglio, non ancora determinate.
Per definire anche $y_c$ e $z_c$ imponiamo $T_y = 0$ e $T_z = 0$, ottenendo
$$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xy} \, \mathrm{d}A = - G \, \Theta_x \iint \limits_\Sigma \left[ (z-z_c) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \right] \, \mathrm{d}A = 0$$
$$ \iint \limits_\Sigma \tau_{xz} \, \mathrm{d}A = G \, \Theta_x \iint \limits_\Sigma \left[ (y-y_c) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \right] \, \mathrm{d}A = 0$$
Le coordinate del centro di taglio sono allora date da
$$z_c = - \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, \mathrm{d}A $$
$$y_c = \frac{1}{A} \iint \limits_\Sigma \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, \mathrm{d}A $$
Applicando il teorema di Green
$$z_c = - \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s $$
$$y_c = \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s $$
Ricapitolando quanto fin qui ottenuto, riusciamo quindi a definire la funzione $\omega(y,z)$ risolvendo il problema differenziale costituito dall'equazione
$$\frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \omega(y,z) }{\partial z^2} = 0$$
e dalla condizione al contorno, valida sul perimetro della sezione
$$ - \left( z + \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_y \, \mathrm{d}s \right) + \frac{\partial \omega}{\partial y} (y,z) \, n_y + \left( y- \frac{1}{A} \oint \omega (y,z) \, n_z \, \mathrm{d}s \right ) + \frac{\partial \omega}{\partial z} (y,z) \, n_z = 0$$
Nota $\omega(x,y)$, calcoliamo $y_c$ e $z_c$.