Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- scienza_costruzioni:teoria_di_kirchoff [2023/03/03 11:41]
mickele creata
+++ scienza_costruzioni:teoria_di_kirchoff [2023/03/03 12:55] (versione attuale)
mickele [Analisi tensionale]
@@ Linea 21: / Linea 21: @@
   - il materiale della piastra è elastico-lineare, omogeneo e isotropo
   - la piastra è inizialmente piana, con spessore sottile in confronto alle altre due dimensioni
-  - gli spostamenti $w(x,y)$, conseguenti all’inflessione del piano medio, sono piccoli in confronto con lo spessore $t$; questa assunzione permette di considerare gli angoli di inclinazione $\varphi_x$ e $\varphi_y$ assimilabili alle rispettive tangenti e quindi alle rispettive derivate parziali di w $\left( \varphi_x = \frac{\partial w}{\partial x} \mathbin{;}  \varphi_y = \frac{\partial w}{\partial y} \right) $; inoltre, essendo il quadrato della derivata prima di $w$ trascurabile rispetto all’unità, è possibile approssimare le curvature $\mu_x$ e $\mu_y$ della superficie con le rispettive derivate seconde di $w$ $\left( \mu_x = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \mathbin{;}  \mu_y = \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $
+  - gli spostamenti $w(x,y)$, conseguenti all’inflessione del piano medio, sono piccoli in confronto con lo spessore $t$; questa assunzione permette di considerare gli angoli di inclinazione $\varphi_x$ e $\varphi_y$ assimilabili alle rispettive tangenti e quindi alle rispettive derivate parziali di w $\left( \varphi_x = - \frac{\partial w}{\partial x} \mathbin{;}  \varphi_y = - \frac{\partial w}{\partial y} \right) $; inoltre, essendo il quadrato della derivata prima di $w$ trascurabile rispetto all’unità, è possibile approssimare le curvature $\mu_x$ e $\mu_y$ della superficie con le rispettive derivate seconde di $w$ $\left( \mu_x = - \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \mathbin{;}  \mu_y = - \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $
   - un segmento rettilineo e normale al piano medio dopo l’inflessione della piastra rimane ancora rettilineo, inalterato in lunghezza e normale alla superficie elastica (ipotesi di conservazione delle normali rette); questa ipotesi equivale a trascurare sia gli scorrimenti angolari dovuti al taglio trasversale ($\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0$) sia la dilatazione lineare nella direzione dello spessore ($\varepsilon_z = 0$).
+===== Analisi cinematica =====
+$$
+\begin{matrix}
+u = z \; \varphi_x = − z \frac{\partial w}{\partial x} \\
+v = z \; \varphi_y = − z \frac{\partial w}{\partial y} \\
+w = w_0
+\end{matrix}
+$$
+Concludendo
+$$
+\begin{matrix}
+\varepsilon_x = -z \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} = z \; \mu_x  \\
+\varepsilon_y = -z \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} = z \; \mu_y  \\
+\gamma_{xy} = −2 z \frac{\partial^2 w}{\partial x y} = z \; \mu_{xy}
+\end{matrix}
+$$
+===== Analisi tensionale =====
+$$
+\begin{matrix}
+\sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_x + \nu \; \varepsilon_y \right) \\
+\sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} \left( \varepsilon_y + \nu \;  \varepsilon_x \right) \\
+\tau_{xy} = 2 G \; z \; \mu_{xy} = \frac{E}{1 + \nu} z \mu_{xy}
+\end{matrix}
+$$
+Tenuto conto delle relazioni cinematiche sopra indicate, le tensioni nella sezione possono scriversi come segue:
+$$
+\begin{matrix}
+\sigma_x = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\
+\sigma_y = \frac{E}{1 − \nu^2} z \left( \mu_y + \nu \;  \mu_x \right) \\
+\tau_{xy} = G \; \gamma_{xy}
+\end{matrix}
+$$
+Integrando nello spessore della sezione
+$$
+M_x = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_x \; z \; \mathrm{d} z = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z
+\; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\
+M_y = \int_{-h/2}^{h/2} \sigma_y \; z \; \mathrm{d} z = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z
+\; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\
+M_{xy} = \int_{-h/2}^{h/2} \tau_{xy} \; z \; \mathrm{d} z = \left( 1 - \nu \right) \frac{E}{1 - \nu^2} \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z \; \mu_{xy}
+$$
+Definendo la rigidezza flessionale della piastra con riferimento ad una striscia di
+larghezza unitaria:Facendo la posizione
+$$
+D = \frac{E}{1 − \nu^2} \; \int_{-h/2}^{h/2} z^2 \; \mathrm{d} z
+$$
+che nel caso di sezione omogenea diventa
+$$
+D = \frac{E}{1 − \nu^2} \frac{t^3}{12}
+$$
+riscriviamo le relazioni nella forma
+$$
+M_x = D \; \left( \mu_x + \nu \; \mu _y \right) \\
+M_y = D \; \left( \mu_y + \nu \; \mu _x \right)\\
+M_{xy} = \left( 1 - \nu \right) D \; \mu_{xy}
+$$

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina