scienza_costruzioni:teoria_di_kirchoff
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Teoria di Kirchoff per le piastre
Definiamo “piastra” un elemento strutturale che ha due dimensioni (lunghezza e larghezza) molto più grandi rispetto alla terza (lo spessore) e la cui superficie sia, in media, piana (lastra piana).
Praticamente consideriamo piastra un elemento piano sottile il cui spessore $t$ sia inferiore ad un ventesimo della dimensione minima $l$ nel piano medio:
$$ \frac{t}{l} \lt \frac{1}{20} $$
In prima battuta possiamo analizzare le deformazioni di una piastra
- trasversalmente al piano, valutando quindi le deformazioni in direzione ortogonale al piano medio (comportamento a flessione)
- nel piano, valutando invece le deformazioni nel piano medio (comportamento a membrana).
La teoria di Kirchoff analizza la prima casistica,
Ipotesi di Kirchhoff
Le ipotesi di Kirchhoff possono ritenersi una estensione analoga all’ipotesi di Saint Venant per le travi. Esse sono così enunciabili:
- il materiale della piastra è elastico-lineare, omogeneo e isotropo
- la piastra è inizialmente piana, con spessore sottile in confronto alle altre due dimensioni
- gli spostamenti $w(x,y)$, conseguenti all’inflessione del piano medio, sono piccoli in confronto con lo spessore $t$; questa assunzione permette di considerare gli angoli di inclinazione $\varphi_x$ e $\varphi_y$ assimilabili alle rispettive tangenti e quindi alle rispettive derivate parziali di w $\left( \varphi_x = \frac{\partial w}{\partial x} \mathbin{;} \varphi_y = \frac{\partial w}{\partial y} \right) $; inoltre, essendo il quadrato della derivata prima di $w$ trascurabile rispetto all’unità, è possibile approssimare le curvature $\mu_x$ e $\mu_y$ della superficie con le rispettive derivate seconde di $w$ $\left( \mu_x = \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \mathbin{;} \mu_y = \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $
- un segmento rettilineo e normale al piano medio dopo l’inflessione della piastra rimane ancora rettilineo, inalterato in lunghezza e normale alla superficie elastica (ipotesi di conservazione delle normali rette); questa ipotesi equivale a trascurare sia gli scorrimenti angolari dovuti al taglio trasversale ($\gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0$) sia la dilatazione lineare nella direzione dello spessore ($\varepsilon_z = 0$).
scienza_costruzioni/teoria_di_kirchoff.1677840101.txt.gz · Ultima modifica: 2023/03/03 11:41 da mickele