scienza_costruzioni:taglio
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scienza_costruzioni:taglio [2021/06/13 13:08] (versione attuale) |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Taglio ====== | ====== Taglio ====== | ||
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===== Teoria approssimata del taglio ===== | ===== Teoria approssimata del taglio ===== | ||
Linea 12: | Linea 11: | ||
Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0). | Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0). | ||
- | Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all' | + | Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all' |
Imponendo l' | Imponendo l' | ||
- | $$- \iint_{\Sigma^{\circ}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$ | + | $$- \iint_{\overline{\Sigma}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$ |
che semplificata diventa | che semplificata diventa | ||
- | $$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x | + | $$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x |
Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, | Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, | ||
- | $$\tau_{m, | + | $$\tau_{m, |
La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione | La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione | ||
Linea 32: | Linea 31: | ||
Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione | Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione | ||
- | $$\tau_{m, | + | $$\tau_{m, |
- | in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\Sigma^{\circ}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell' | + | in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\overline{\Sigma}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell' |
La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. | La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. | ||
Linea 73: | Linea 72: | ||
$$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$ | $$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$ | ||
- | Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$. | + | Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$. |
Applicando il principio dei lavori virtuali, | Applicando il principio dei lavori virtuali, | ||
Linea 81: | Linea 80: | ||
da cui | da cui | ||
- | $$\left (T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$ | + | $$\left (T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$ |
Sostituendo l' | Sostituendo l' | ||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{1}{G} | + | $$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{1}{G} |
Sviluppando i calcoli | Sviluppando i calcoli | ||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = | + | $$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = |
\frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | \frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | 2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
Linea 106: | Linea 105: | ||
L' | L' | ||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$ | + | $$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$ |
- | Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo | + | Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo |
$$\gamma_{m, | $$\gamma_{m, | ||
Linea 114: | Linea 113: | ||
$$\gamma_{m, | $$\gamma_{m, | ||
- | Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti $c_{yz}$ e $c_{zy}$ | + | Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti |
+ | |||
+ | $$c_{yz} | ||
+ | |||
+ | in cui abbiamo introdotto un terzo coefficiente | ||
Pertanto, ritornando all' | Pertanto, ritornando all' | ||
Linea 120: | Linea 123: | ||
$$\gamma_{m, | $$\gamma_{m, | ||
- | $$\gamma_{m, | + | $$\gamma_{m, |
scienza_costruzioni/taglio.1384422221.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)