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scienza_costruzioni:taglio

Taglio

Teoria approssimata del taglio

Taglio retto

Analizzando l'equilibrio a rotazione di un concio di trave rettilinea di lunghezza $\mathrm{d}x$, troviamo che

$$\mathrm{d}M_y = T_z \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}M_y}{\mathrm{d}x} = T_z$$

Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0).

Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all'asse $y$ di equazione $z=\overline{z}$. Supponiamo chiamiamo $b(\overline{z})$ sia la larghezza trasversale della sezione in corrispondenza di $z=\overline{z}$. La sezione intera $\Sigma$ viene così suddivisa in due sezioni che chiamiamo $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$. Poiché l'asse $y$ è baricentrico per la sezione intera $\Sigma$, i momenti statici di $\overline{\Sigma}$ e $\Sigma'^{\circ}$ sono uguali ed opposti.

Imponendo l'equilibrio a traslazione lungo l'asse x otteniamo

$$- \iint_{\overline{\Sigma}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$

che semplificata diventa

$$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}A = 0$$

Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo

$$\tau_{m,xz} (\overline{z}) = \frac{1}{b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dA$$

La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione

$$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( \frac{M_y}{I_y} y \right) = \frac{dM_y}{dx} \frac{y}{I_{yy}} = \frac{T_z y}{I_y}$$

Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione

$$\tau_{m,xz} ( \overline{z} )= \frac{T_z}{I_{yy} b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_{y}}{I_{yy} b(\overline{z})}$$

in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\overline{\Sigma}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell'intera sezione $\Sigma$. La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky.

La presenza di tensioni tangenziali determina l'insorgere di scorrimenti angolari, dati da

$$\gamma_{m,xz} (z) = \frac{\tau_{m,xz} (z)}{G}$$

variabili nella sezione. Considerando un tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, a seguito degli scorrimenti angolari variabili le due sezioni che delimitano il concio si ingobbano perdendo l'iniziale planarità e slittano tra di loro, facendo venir meno l'ortogonalità rispetto all'asse delle trave. Lo slittamento relativo $\mathrm{d}w$ può essere calcolato sfruttando il principio dei lavori virtuali

$$T_z \mathrm{d}w = \left( \iint \limits_{\Sigma} \tau_{xz} \gamma_{xz} dA \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \iint \limits_{\Sigma} {{\tau_{xz}}^2 \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x = \frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \left( \iint \limits_{\Sigma} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)^2} \mathrm{d}A \right) \mathrm{d}x = \frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)} \mathrm{d}z \mathrm{d}x = T_z \gamma_{m,xz} \mathrm{d}x$$

in cui $z_{inf}$ e $z_{sup}$ sono le ordinate rispettivamente minima e massima della nostra sezione ed in cui si è introdotto una nuova grandezza, lo scorrimento angolare medio $\gamma_{m,xz}$, pari a

$$\gamma_{m,xz} = \frac{T_z}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)} \mathrm{d}z$$

Possiamo ricondurre la notazione dello scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$ a quella usata per la deformazione assiale nel caso di sforzo normale mediante

$$\gamma_{m,xz} = t_z \frac{T_z}{G A}$$

in cui abbiamo introdotto un nuovo coefficiente, il fattore di taglio $t_z$ definito come

$$t_{z} = \frac{A}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{{\overline{S}_{y}}^2}{b(z)} \mathrm{d}z$$

funzione della sola geometria della sezione.

Taglio deviato in sezioni sottili

Per analizzare in maniera non approssimata il problema del taglio deviato ci riferiremo ad una sezione sottile, il cui asse è descritto mediante una curva $\Gamma$ percorsa dalla coordinata curvilinea $s$. Sia $b(s)$ lo spessore della sezione in un punto della curva individuato dalla coordinata $s$. Indichiamo infine con $\Sigma$ la superficie della nostra sezione.

Sottoponiamo tale sezione ad uno sforzo tagliante avente due componenti, $T_y$ e $T_z$. Trattandosi di sezione sottile, è possibile trascurare la componente della $\tau_{xn}$ normale alla curva, considerando quindi la sola componente $\tau_{xs}$, pari a

$$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$

Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$.

Applicando il principio dei lavori virtuali,

$$T_y \, \mathrm{d}v + T_z \, \mathrm{d}w = \frac{1}{G} \left( \iint_{\Sigma}{\tau_{zs} \, \gamma_{zs} \; \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x$$

da cui

$$\left (T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$

Sostituendo l'espressione di $\tau_{xs}$ trovata sopra arriviamo a scrivere

$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{1}{G} \int_{\Gamma} \left( \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)} \right)^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s$$

Sviluppando i calcoli

$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + 2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + \frac{T_y^2}{G \, I_{z}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

Definiamo i coefficienti di taglio

$$t_{y} = \frac{A}{I_z^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

$$t_{yz} = \frac{A}{I_y I_z} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

$$t_{z} = \frac{A}{I_y^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$

che dipendono esclusivamente dalla geometria della sezione.

L'espressione del lavoro virtuale unitario diventa

$$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$

Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo

$$\gamma_{m,xy} = c_{yy} \, T_y + c_{yz} \, T_z$$

$$\gamma_{m,xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$

Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti

$$c_{yz} = c_{zy} = t_{yz}$$

in cui abbiamo introdotto un terzo coefficiente di taglio $t_{yz}$.

Pertanto, ritornando all'espressione del lavoro virtuale di sopra, possiamo esprimere gli scorrimenti medi nella forma

$$\gamma_{m,xy} = \frac{t_y T_y}{G A} + \frac{t_{yz} T_z}{G A}$$

$$\gamma_{m,xz} = \frac{t_{yz} T_y}{G A} + \frac{t_z T_z}{G A}$$


scienza_costruzioni/taglio.txt · Ultima modifica: 2013/11/14 10:59 da mickele

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