scienza_costruzioni:taglio
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Taglio ====== | ====== Taglio ====== | ||
- | |||
===== Teoria approssimata del taglio ===== | ===== Teoria approssimata del taglio ===== | ||
- | ===== Taglio ===== | + | ===== Taglio |
+ | |||
+ | Analizzando l' | ||
+ | |||
+ | $$\mathrm{d}M_y = T_z \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}M_y}{\mathrm{d}x} = T_z$$ | ||
- | Sottoponiamo una sezione ad uno sforzo | + | Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo |
- | $$\mathrm{d}M_z = T_y \, \mathrm{d}x \Longrightarrow | + | Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza |
- | da cui deduciamo che la presenza dello sforzo tagliante $T_y$ implica la presenza di un momento variabile sulla trave $M_z$. | + | Imponendo l' |
- | Continuando a lavorare con lo stesso tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, | + | |
- | $$- \iint_{\overline{S}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(y)} {\tau}_{xy} \mathrm{d}s + \iint_\overline{S} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$ | + | $$- \iint_{\overline{\Sigma}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$ |
che semplificata diventa | che semplificata diventa | ||
- | $$- \int_{0}^{b(y)} {\tau}_{xy} \mathrm{d}s + \iint_\overline{S} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x | + | $$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x |
- | Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xy}$ e applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, otteniamo | + | Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo |
- | $$\overline{\tau}_{xy} (\overline{y}) = \frac{1}{b(\overline{y})} \iint_{\overline{S}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dA$$ | + | $$\tau_{m,xz} (\overline{z}) = \frac{1}{b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dA$$ |
- | La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_z$ tramite la relazione | + | La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione |
- | $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( \frac{M_z}{I_z} y \right) = \frac{dM_z}{dx} \frac{y}{I_z} = \frac{T_y y}{I_z}$$ | + | $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( \frac{M_y}{I_y} y \right) = \frac{dM_y}{dx} \frac{y}{I_{yy}} = \frac{T_z y}{I_y}$$ |
- | Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xy}$ con la relazione | + | Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione |
- | $$\overline{\tau}_{xy} ( \overline{y} )= \frac{T_y}{I_{z} b(\overline{y})} \iint_{\overline{S}}{y dA} = \frac{T_y \overline{S}_z}{I_{z} b(\overline{y})}$$ | + | $$\tau_{m,xz} ( \overline{z} )= \frac{T_z}{I_{yy} b(\overline{z})} \iint_{\overline{\Sigma}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_{y}}{I_{yy} b(\overline{z})}$$ |
- | in cui $\overline{S}_x$ è il momento statico della sola sezione $\overline{S}$, mentre $I_x$ è il momento di inerzia dell' | + | in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\overline{\Sigma}$, mentre $I_{yy}$ è il momento di inerzia dell' |
La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. | La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. | ||
La presenza di tensioni tangenziali determina l' | La presenza di tensioni tangenziali determina l' | ||
- | $$\overline{\gamma}_{zy} (y) = \frac{\overline{\tau}_{zy} (y)}{G}$$ | + | $$\gamma_{m,xz} (z) = \frac{\tau_{m,xz} (z)}{G}$$ |
variabili nella sezione. | variabili nella sezione. | ||
- | Considerando un tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, | + | Considerando un tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, |
- | $$T_y \mathrm{d}v = | + | $$T_z \mathrm{d}w = |
- | \left( \iint \limits_{S} \tau_{zy} \gamma_{zy} dA \right) \mathrm{d}x = | + | \left( \iint \limits_{\Sigma} \tau_{xz} \gamma_{xz} dA \right) \mathrm{d}x = |
- | \frac{1}{G} \left( \iint \limits_{S} {{\tau_{zy}}^2 \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x = | + | \frac{1}{G} \left( \iint \limits_{\Sigma} {{\tau_{xz}}^2 \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x = |
- | \frac{T_y^2}{I_{x}^2} \left( \iint \limits_{S} \frac{\overline{S}_x^2}{b(y)^2} \mathrm{d}A \right) \mathrm{d}x = | + | \frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \left( \iint \limits_{\Sigma} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)^2} \mathrm{d}A \right) \mathrm{d}x = |
- | \frac{T_y^2}{I_{x}^2} \int \limits_{y_{inf}}^{y_{sup}} \frac{\overline{S}_x^2}{b(y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = | + | \frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)} \mathrm{d}z \mathrm{d}x = |
- | T_y \overline{\gamma}_{zy} \mathrm{d}x$$ | + | T_z \gamma_{m,xz} \mathrm{d}x$$ |
- | in cui $y_{inf}$ e $y_{sup}$ sono le ordinate rispettivamente minima e massima della nostra sezione ed in cui si è introdotto una nuova grandezza, lo scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$, pari a | + | in cui $z_{inf}$ e $z_{sup}$ sono le ordinate rispettivamente minima e massima della nostra sezione ed in cui si è introdotto una nuova grandezza, lo scorrimento angolare medio $\gamma_{m,xz}$, pari a |
- | $$\overline{\gamma}_{zy} = \frac{T_y}{I_{x}^2} \int \limits_{y_{inf}}^{y_{sup}} \frac{{\overline{S}_x}^2}{b(y)} \mathrm{d}y$$ | + | $$\gamma_{m,xz} = \frac{T_z}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)} \mathrm{d}z$$ |
Possiamo ricondurre la notazione dello scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$ a quella usata per la deformazione assiale nel caso di sforzo normale mediante | Possiamo ricondurre la notazione dello scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$ a quella usata per la deformazione assiale nel caso di sforzo normale mediante | ||
- | $$\overline{\gamma}_{zy} = t_y \frac{T_y}{G A}$$ | + | $$\gamma_{m,xz} = t_z \frac{T_z}{G A}$$ |
- | in cui abbiamo introdotto un nuovo coefficiente, | + | in cui abbiamo introdotto un nuovo coefficiente, |
- | $$t_{y} = \frac{A}{I_{x}^2} \int \limits_{y_{inf}}^{y_{sup}} \frac{{\overline{S}_x}^2}{b(y)} \mathrm{d}y$$ | + | $$t_{z} = \frac{A}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{{\overline{S}_{y}}^2}{b(z)} \mathrm{d}z$$ |
funzione della sola geometria della sezione. | funzione della sola geometria della sezione. | ||
- | |||
- | |||
===== Taglio deviato in sezioni sottili ===== | ===== Taglio deviato in sezioni sottili ===== | ||
Linea 72: | Linea 72: | ||
$$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$ | $$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$ | ||
- | Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$. | + | Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\gamma_{m,xy}$ e $\gamma_{m,xz}$. |
Applicando il principio dei lavori virtuali, | Applicando il principio dei lavori virtuali, | ||
Linea 80: | Linea 80: | ||
da cui | da cui | ||
- | $$\left (T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$ | + | $$\left (T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$ |
Sostituendo l' | Sostituendo l' | ||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{1}{G} | + | $$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{1}{G} |
Sviluppando i calcoli | Sviluppando i calcoli | ||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = | + | $$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = |
\frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | \frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | 2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
Linea 105: | Linea 105: | ||
L' | L' | ||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$ | + | $$T_y \, \gamma_{m,xy} + T_z \, \gamma_{m,xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$ |
+ | |||
+ | Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\gamma_{m, | ||
+ | |||
+ | $$\gamma_{m, | ||
- | Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo | + | $$\gamma_{m,xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$ |
- | $$\overline{\gamma}_{xy} = c_{yy} \, T_y + c_{yz} \, T_z$$ | + | Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti |
- | $$\overline{\gamma}_{xz} = c_{zy} | + | $$c_{yz} = c_{zy} |
- | Applicando il Teorema | + | in cui abbiamo introdotto un terzo coefficiente |
Pertanto, ritornando all' | Pertanto, ritornando all' | ||
- | $$\overline{\gamma}_{xy} = \frac{t_y T_y}{G A} + \frac{t_{yz} T_z}{G A}$$ | + | $$\gamma_{m,xy} = \frac{t_y T_y}{G A} + \frac{t_{yz} T_z}{G A}$$ |
- | $$\overline{\gamma}_{xz} = \frac{t_{yz} T_y}{G A} + \frac{t_y T_z}{G A}$$ | + | $$\gamma_{m,xz} = \frac{t_{yz} T_y}{G A} + \frac{t_z T_z}{G A}$$ |
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