scienza_costruzioni:taglio
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scienza_costruzioni:taglio [2013/11/14 10:45] mickele [Taglio deviato in sezioni sottili] |
scienza_costruzioni:taglio [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Taglio ====== | ||
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- | ===== Teoria approssimata del taglio ===== | ||
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- | ===== Taglio retto ===== | ||
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- | Analizzando l' | ||
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- | $$\mathrm{d}M_y = T_z \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}M_y}{\mathrm{d}x} = T_z$$ | ||
- | |||
- | Tale relazione di esprime che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento $M_y$ variabile (la sua derivata è diversa da 0). | ||
- | |||
- | Tagliamo lo stesso tratto di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$ con un asse parallelo all' | ||
- | |||
- | Imponendo l' | ||
- | |||
- | $$- \iint_{\Sigma^{\circ}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$ | ||
- | |||
- | che semplificata diventa | ||
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- | $$- \int_{0}^{b(z)} {\tau}_{xz} \mathrm{d}y + \iint_{\Sigma^{\circ}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x | ||
- | |||
- | Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xz}$, | ||
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- | $$\tau_{m, | ||
- | |||
- | La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione | ||
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- | $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( \frac{M_y}{I_y} y \right) = \frac{dM_y}{dx} \frac{y}{I_{yy}} = \frac{T_z y}{I_y}$$ | ||
- | |||
- | Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione | ||
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- | $$\tau_{m, | ||
- | |||
- | in cui $\overline{S}_{y}$ è il momento statico della sola sezione $\Sigma^{\circ}$, | ||
- | La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. | ||
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- | La presenza di tensioni tangenziali determina l' | ||
- | |||
- | $$\gamma_{m, | ||
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- | variabili nella sezione. | ||
- | Considerando un tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, | ||
- | |||
- | $$T_z \mathrm{d}w = | ||
- | \left( \iint \limits_{\Sigma} \tau_{xz} \gamma_{xz} dA \right) \mathrm{d}x = | ||
- | \frac{1}{G} \left( \iint \limits_{\Sigma} {{\tau_{xz}}^2 \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x = | ||
- | \frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \left( \iint \limits_{\Sigma} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)^2} \mathrm{d}A \right) \mathrm{d}x = | ||
- | \frac{T_z^2}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{\overline{S}_{y}^2}{b(z)} \mathrm{d}z \mathrm{d}x = | ||
- | T_z \gamma_{m, | ||
- | |||
- | in cui $z_{inf}$ e $z_{sup}$ sono le ordinate rispettivamente minima e massima della nostra sezione ed in cui si è introdotto una nuova grandezza, lo scorrimento angolare medio $\gamma_{m, | ||
- | |||
- | $$\gamma_{m, | ||
- | |||
- | Possiamo ricondurre la notazione dello scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$ a quella usata per la deformazione assiale nel caso di sforzo normale mediante | ||
- | |||
- | $$\gamma_{m, | ||
- | |||
- | in cui abbiamo introdotto un nuovo coefficiente, | ||
- | |||
- | $$t_{z} = \frac{A}{I_{yy}^2} \int \limits_{z_{inf}}^{z_{sup}} \frac{{\overline{S}_{y}}^2}{b(z)} \mathrm{d}z$$ | ||
- | |||
- | funzione della sola geometria della sezione. | ||
- | |||
- | ===== Taglio deviato in sezioni sottili ===== | ||
- | |||
- | Per analizzare in maniera non approssimata il problema del taglio deviato ci riferiremo ad una sezione sottile, il cui asse è descritto mediante una curva $\Gamma$ percorsa dalla coordinata curvilinea $s$. Sia $b(s)$ lo spessore della sezione in un punto della curva individuato dalla coordinata $s$. Indichiamo infine con $\Sigma$ la superficie della nostra sezione. | ||
- | |||
- | Sottoponiamo tale sezione ad uno sforzo tagliante avente due componenti, $T_y$ e $T_z$. Trattandosi di sezione sottile, è possibile trascurare la componente della $\tau_{xn}$ normale alla curva, considerando quindi la sola componente $\tau_{xs}$, | ||
- | |||
- | $$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$ | ||
- | |||
- | Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$. | ||
- | |||
- | Applicando il principio dei lavori virtuali, | ||
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- | $$T_y \, \mathrm{d}v + T_z \, \mathrm{d}w = \frac{1}{G} \left( \iint_{\Sigma}{\tau_{zs} \, \gamma_{zs} \; \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\left (T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$ | ||
- | |||
- | Sostituendo l' | ||
- | |||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{1}{G} | ||
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- | Sviluppando i calcoli | ||
- | |||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = | ||
- | \frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
- | 2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
- | \frac{T_y^2}{G \, I_{z}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | Definiamo i coefficienti di taglio | ||
- | |||
- | $$t_{y} = \frac{A}{I_z^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | $$t_{yz} = \frac{A}{I_y I_z} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | $$t_{z} = \frac{A}{I_y^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | che dipendono esclusivamente dalla geometria della sezione. | ||
- | |||
- | L' | ||
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- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$ | ||
- | |||
- | Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo | ||
- | |||
- | $$\gamma_{m, | ||
- | |||
- | $$\gamma_{m, | ||
- | |||
- | Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti $c_{yz}$ e $c_{zy}$ sono uguali tra di loro. | ||
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- | Pertanto, ritornando all' | ||
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- | $$\gamma_{m, | ||
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- | $$\gamma_{m, |
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