scienza_costruzioni:taglio
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
scienza_costruzioni:taglio [2013/11/12 10:24] mickele |
scienza_costruzioni:taglio [2021/06/13 13:08] |
||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Taglio ====== | ||
- | |||
- | ===== Teoria approssimata del taglio ===== | ||
- | |||
- | ===== Taglio ===== | ||
- | |||
- | Sottoponiamo una sezione ad uno sforzo di taglio $T_{z}$ parallelo all' | ||
- | |||
- | $$\mathrm{d}M_y = T_z \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}M_y}{\mathrm{d}x} = T_z$$ | ||
- | |||
- | da cui deduciamo che la presenza dello sforzo tagliante $T_z$ implica la presenza di un momento variabile sulla trave $M_y$. | ||
- | Continuando a lavorare con lo stesso tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, | ||
- | |||
- | $$- \iint_{\overline{S}} \sigma_{x} \mathrm{d}A - \int_{0}^{b(y)} {\tau}_{xy} \mathrm{d}s + \iint_\overline{S} \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}A = 0$$ | ||
- | |||
- | che semplificata diventa | ||
- | |||
- | $$- \int_{0}^{b(y)} {\tau}_{xy} \mathrm{d}s + \iint_\overline{S} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} \mathrm{d}x | ||
- | |||
- | Limitandoci a calcolare il valor medio della $\tau_{xy}$ e applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale, otteniamo | ||
- | |||
- | $$\overline{\tau}_{xy} (\overline{y}) = \frac{1}{b(\overline{y})} \iint_{\overline{S}} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dA$$ | ||
- | |||
- | La derivata parziale $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x}$ è correlata al solo momento flettente $M_y$ tramite la relazione | ||
- | |||
- | $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} = \frac{d}{dx} \left( \frac{M_y}{I_y} y \right) = \frac{dM_y}{dx} \frac{y}{I_y} = \frac{T_z y}{I_y}$$ | ||
- | |||
- | Quindi possiamo esprimere la tensione tangenziale media $\overline{\tau}_{xz}$ con la relazione | ||
- | |||
- | $$\overline{\tau}_{xz} ( \overline{y} )= \frac{T_z}{I_{y} b(\overline{y})} \iint_{\overline{S}}{z dA} = \frac{T_z \overline{S}_y}{I_{yy} b(\overline{y})}$$ | ||
- | |||
- | in cui $\overline{S}_y$ è il momento statico della sola sezione $\overline{S}$, | ||
- | La formula appena calcolata viene comunemente attribuita a Jourawsky. | ||
- | |||
- | La presenza di tensioni tangenziali determina l' | ||
- | |||
- | $$\overline{\gamma}_{zy} (y) = \frac{\overline{\tau}_{zy} (y)}{G}$$ | ||
- | |||
- | variabili nella sezione. | ||
- | Considerando un tratto infinitesimo di trave di lunghezza $\mathrm{d}x$, | ||
- | |||
- | $$T_y \mathrm{d}v = | ||
- | \left( \iint \limits_{S} \tau_{zy} \gamma_{zy} dA \right) \mathrm{d}x = | ||
- | \frac{1}{G} \left( \iint \limits_{S} {{\tau_{zy}}^2 \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x = | ||
- | \frac{T_y^2}{I_{x}^2} \left( \iint \limits_{S} \frac{\overline{S}_x^2}{b(y)^2} \mathrm{d}A \right) \mathrm{d}x = | ||
- | \frac{T_y^2}{I_{x}^2} \int \limits_{y_{inf}}^{y_{sup}} \frac{\overline{S}_x^2}{b(y)} \mathrm{d}y \mathrm{d}x = | ||
- | T_y \overline{\gamma}_{zy} \mathrm{d}x$$ | ||
- | |||
- | in cui $y_{inf}$ e $y_{sup}$ sono le ordinate rispettivamente minima e massima della nostra sezione ed in cui si è introdotto una nuova grandezza, lo scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$, | ||
- | |||
- | $$\overline{\gamma}_{zy} = \frac{T_y}{I_{x}^2} \int \limits_{y_{inf}}^{y_{sup}} \frac{{\overline{S}_x}^2}{b(y)} \mathrm{d}y$$ | ||
- | |||
- | Possiamo ricondurre la notazione dello scorrimento angolare medio $\overline{\gamma}_{zy}$ a quella usata per la deformazione assiale nel caso di sforzo normale mediante | ||
- | |||
- | $$\overline{\gamma}_{zy} = t_y \frac{T_y}{G A}$$ | ||
- | |||
- | in cui abbiamo introdotto un nuovo coefficiente, | ||
- | |||
- | $$t_{y} = \frac{A}{I_{x}^2} \int \limits_{y_{inf}}^{y_{sup}} \frac{{\overline{S}_x}^2}{b(y)} \mathrm{d}y$$ | ||
- | |||
- | funzione della sola geometria della sezione. | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | ===== Taglio deviato in sezioni sottili ===== | ||
- | |||
- | Per analizzare in maniera non approssimata il problema del taglio deviato ci riferiremo ad una sezione sottile, il cui asse è descritto mediante una curva $\Gamma$ percorsa dalla coordinata curvilinea $s$. Sia $b(s)$ lo spessore della sezione in un punto della curva individuato dalla coordinata $s$. Indichiamo infine con $\Sigma$ la superficie della nostra sezione. | ||
- | |||
- | Sottoponiamo tale sezione ad uno sforzo tagliante avente due componenti, $T_y$ e $T_z$. Trattandosi di sezione sottile, è possibile trascurare la componente della $\tau_{xn}$ normale alla curva, considerando quindi la sola componente $\tau_{xs}$, | ||
- | |||
- | $$\tau_{xs} = \frac{T_z \, \overline{S}_y(s)}{I_{y} \, b(s)} + \frac{T_y \, \overline{S}_z(s)}{I_{z} \, b(s)}$$ | ||
- | |||
- | Procedendo in analogia con quanto fatto per il taglio retto, introduciamo i due scorrimenti angolari medi $\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$. | ||
- | |||
- | Applicando il principio dei lavori virtuali, | ||
- | |||
- | $$T_y \, \mathrm{d}v + T_z \, \mathrm{d}w = \frac{1}{G} \left( \iint_{\Sigma}{\tau_{zs} \, \gamma_{zs} \; \mathrm{d}A} \right) \mathrm{d}x$$ | ||
- | |||
- | da cui | ||
- | |||
- | $$\left (T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} \right) \mathrm{d}x = \frac{1}{G} \left( \int_{\Gamma}{\tau_{zs}^2 \, b(s) \; \mathrm{d}s} \right) \mathrm{d}x$$ | ||
- | |||
- | Sostituendo l' | ||
- | |||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{1}{G} | ||
- | |||
- | Sviluppando i calcoli | ||
- | |||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = | ||
- | \frac{T_z^2}{G \, I_{y}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
- | 2 \frac{T_y \, T_z}{G \, I_{y} \, I_{z}} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s + | ||
- | \frac{T_y^2}{G \, I_{z}^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | Definiamo i coefficienti di taglio | ||
- | |||
- | $$t_{y} = \frac{A}{I_z^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{z}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | $$t_{yz} = \frac{A}{I_y I_z} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s) \, \overline{S}_{z}(s)}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | $$t_{z} = \frac{A}{I_y^2} \int_{\Gamma} \frac {\overline{S}_{y}(s)^{2}}{b(s)} \, \mathrm{d}s$$ | ||
- | |||
- | che dipendono esclusivamente dalla geometria della sezione. | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | $$T_y \, \overline{\gamma}_{xy} + T_z \, \overline{\gamma}_{xz} = \frac{t_y \, T_y^2}{G \, A} + 2 \frac{t_{yz} \, T_y \, T_z}{G \, A} + \frac{t_z \, T_z^2}{G \, A}$$ | ||
- | |||
- | Per valutare la relazione esistente tra gli scorrimenti angolari medi ($\overline{\gamma}_{xy}$ e $\overline{\gamma}_{xz}$) e le risultanti di taglio $T_y$ e $T_z$ osserviamo che la linearità del problema elastico implica che tali grandezze siano legate da una legge lineare del tipo | ||
- | |||
- | $$\overline{\gamma}_{xy} = c_{yy} \, T_y + c_{yz} \, T_z$$ | ||
- | |||
- | $$\overline{\gamma}_{xz} = c_{zy} \, T_y + c_{zz} \, T_z$$ | ||
- | |||
- | Applicando il Teorema di Reciprocità verifichiamo che i coefficienti $c_{xy}$ e $c_{xz}$ sono uguali tra di loro. | ||
- | |||
- | Pertanto, ritornando all' | ||
- | |||
- | $$\overline{\gamma}_{xy} = \frac{t_y T_y}{G A} + \frac{t_{yz} T_z}{G A}$$ | ||
- | |||
- | $$\overline{\gamma}_{xz} = \frac{t_{yz} T_y}{G A} + \frac{t_y T_z}{G A}$$ |
scienza_costruzioni/taglio.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)