L'ipotesi di comportamento elastico lineare presuppone una relazione lineare costante nel tempo tra le tensioni applicate al solido e le relative deformazioni. Nelle realtà invece non solo la legge costitutiva non è di tipo lineare, ma non è neanche costante nel tempo.

L'ipotesi viscoelastica lineare si approccia a tali evidenze sperimentali prevedendo comunque una relazione di tipo lineare tra tensioni e deformazioni, ma con coefficienti variabili nel tempo. Tale ipotesi ha riscontro applicativo per deformazioni all'interno di un range contenute di tensioni/deformazioni.

Analizziamo il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$.

Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un'altra funzione) del tipo

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma} \right)$$

L'ipotesi viscoelastica lineare suppone che il funzionale $\mathbb{J}$ gode della proprietà di linearità. Date quindi due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ e due valori reali $a$ e $b$, deve essere verificata la condizione

$$ \mathbb{J} \left( a \, \boldsymbol{\sigma}_{1} + b \, \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) = a \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right) + b \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) $$

Notiamo che, per motivi fisici, il valore assunto dalla funzione $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$ al tempo $t_0$ dipende dai valori che la storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$ assume nel solo intervallo $(-\infty, t_0)$. Pertanto se due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ sono uguali per $t < t_0$, anche le corrispondenti deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right)$ e $\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right)$ saranno uguali per $t < t_0$.

Analogamente a quanto visto sopra, supponendo come variabile indipendente la storia delle deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$, possiamo definire un funzionale $\mathbb{R}$ che ci permette di conoscere la legge di variazione nel tempo delle tensioni $\boldsymbol{\sigma}(t)$

$$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)$$

Anche per la funzione $\mathbb{R}$ l'ipotesi di comportamento viscoelastico lineare comporta

$$ \mathbb{R} \left( a \, \boldsymbol{\varepsilon}_{1} + b \, \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) = a \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{1} \right) + b \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) $$

La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come principio di sovrapposizione di McHenry.

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Scienza Costruzioni:Calcestruzzo viscoelastico 01.svg