scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare
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scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare [2013/04/20 10:13] mickele [Legge costitutiva viscoelastico lineare] |
scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Il solido viscoelastico lineare ====== | ||
- | ===== Legge costitutiva viscoelastico lineare | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | Analizziamo il problema assumendo come variabile indipendente la tensione agente $\boldsymbol{\sigma}$. | ||
- | |||
- | Per formalizzare le ipotesi alla base del comportamento viscoelastico lineare, consideriamo che la deformazione al tempo $t$ dipenda dalla storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$. La relazione che lega le deformazioni alle tensioni è allora un funzionale (e.g. una funzione che accetta come argomento un' | ||
- | |||
- | $$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma} | ||
- | |||
- | L' | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \mathbb{J} \left( a \, \boldsymbol{\sigma}_{1} + b \, \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) = | ||
- | a \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right) + | ||
- | b \, \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right) | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | Notiamo che, per motivi fisici, il valore assunto dalla funzione $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$ al tempo $t_0$ dipende dai valori che la storia tensionale $\boldsymbol{\sigma}(t)$ assume nel solo intervallo $(-\infty, t_0)$. Pertanto se due storie tensionali $\boldsymbol{\sigma}_{1}(t)$ e $\boldsymbol{\sigma}_{2}(t)$ sono uguali per $t < t_0$, anche le corrispondenti deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{1} \right)$ e $\boldsymbol{\varepsilon}_2 = \mathbb{J} \left( \boldsymbol{\sigma}_{2} \right)$ saranno uguali per $t < t_0$. | ||
- | |||
- | Analogamente a quanto visto sopra, supponendo come variabile indipendente la storia delle deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}(t)$, | ||
- | |||
- | $$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon} \right)$$ | ||
- | |||
- | Anche per la funzione $\mathbb{R}$ l' | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \mathbb{R} \left( a \, \boldsymbol{\varepsilon}_{1} + b \, \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) = | ||
- | a \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{1} \right) + | ||
- | b \, \mathbb{R} \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{2} \right) | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | La linearità dei due funzionali è indicata in letteratura come //principio di sovrapposizione di McHenry//. | ||
- | |||
- | ===== Il calcestruzzo: | ||
- | |||
- | {{svg> | ||
- | ===== Funzione di fluage ===== | ||
- | |||
- | Supponiamo la nostra storia di carico sia costituita da una funzione a gradino | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \sigma_{x} (t) = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | 0 & t < t_0\\\\ | ||
- | \sigma_{x, | ||
- | \end{cases} | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | $$\sigma_{y} = \sigma_{z} = \tau_{xy} = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$$ | ||
- | |||
- | Definiamo coefficente di fluage il valore assunto dalla deformazione viscosa per $t \ge t_0$ | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \varepsilon_{cc, | ||
- | \sigma_{x, | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | in cui $E_c$ è il modulo di elasticità normale al tempo $t_0$. L'aver supposto una relazione lineare tra $\varepsilon_{cc, | ||
- | |||
- | Sommando alla deformazione viscosa la deformazione elastica otteniamo | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \varepsilon_{x} (t) = | ||
- | \sigma_{x, | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | Chiamiamo la grandezza | ||
- | |||
- | $$J(t,t_0) = \frac{1+\varphi(t, | ||
- | |||
- | funzione di fluage. | ||
- | |||
- | {{svg> | ||
- | |||
- | Nel caso invece di una generica storia tensionale | ||
- | |||
- | $$\sigma_x(t) = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | 0 & t < t_0 \\\\ | ||
- | \sigma_{x, | ||
- | \sigma_{x, | ||
- | \end{cases}$$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | |||
- | $$\sigma_{x, | ||
- | |||
- | l' | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_x(t, | ||
- | |||
- | ===== Funzione di rilassamento ===== | ||
- | |||
- | Supponiamo di sottoporre un provino alla seguente storia di deformazione | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \varepsilon_{x} (t) = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | 0 & t < t_0\\\\ | ||
- | \varepsilon_{x, | ||
- | \end{cases} | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | Definiamo la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$ in maniera tale che il corrispondente valore della tensione per $t \ge t_0$ sia espresso nella forma | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \sigma_{x} (t) = | ||
- | \varepsilon_{x, | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | Anche in questo caso l'aver supposto una relazione lineare tra $\sigma_{x} (t)$ e $\varepsilon_{x, | ||
- | |||
- | Nel caso di deformazioni imposte di tipo generico | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_x(t) = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | 0 & t < t_0 \\\\ | ||
- | \varepsilon_{x, | ||
- | \varepsilon_{x, | ||
- | \end{cases}$$ | ||
- | |||
- | in cui | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{x, | ||
- | |||
- | l' | ||
- | |||
- | $$\sigma_x(t, | ||
- | |||
- | ===== Legame tra funzione di fluage e funzione di rilassamento ===== | ||
- | |||
- | Supponendo nota la funzione di fluage $J(t,t_0)$, deriviamo da quest' | ||
- | Per farlo sottoponinamo il nostro provino alla seguente storia di deformazione | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \varepsilon_{x} (t) = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | 0 & t < t_0\\\\ | ||
- | 1 & t \ge t_0\\\\ | ||
- | \end{cases} | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | Secondo quanto visto sopra | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_x(t, | ||
- | |||
- | La tensione $\sigma_{x}(t)$ è uguale alla funzione di rilassamento, | ||
- | |||
- | $$1 = J(t,t_0) \, R(t_0,t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} J(t,t_0) \frac{\partial R(t, | ||
- | |||
- | Integrando la numericamente tale relazione riusciamo a derivare la funzione di rilassamento $R(t, t_0)$. | ||
- | |||
- | Analogamente possiamo derivare la funzione di fluage nota la funzione di rilassamento. Questa volta sottoponiamo il nostro materiale alla storia tensionale | ||
- | |||
- | $$ | ||
- | \sigma_{x} (t) = | ||
- | \begin{cases} | ||
- | 0 & t < t_0\\\\ | ||
- | 1 & t \ge t_0\\\\ | ||
- | \end{cases} | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | La deformazione al tempo $t$ sarà pari alla funzione di fluage, allora possiamo scrivere la relazione | ||
- | |||
- | $$1 = R(t,t_0) J(t, t_0) + \int \limits_{t_0}^{t} R(t,t_0) \frac{\partial J(t, | ||
- | |||
- | che integrata numericamente ci permette di trovare la funzione $J(t,t_0)$ cercata. | ||
- | |||
- | Le due relazioni differenziali trovate sono chiamate //integrali di Volterra//. | ||
- | |||
- | ===== Teorema dell' | ||
- | |||
- | Il teorema dell' | ||
- | |||
- | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica lo stato di deformazione, | ||
- | |||
- | Supponiamo che il nostro corpo viscoelastico sia soggetto a deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_A$. Come conseguenza nasceranno nel corpo deformazioni elastiche $\varepsilon_{el, | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{tot, | ||
- | |||
- | Alle deformazioni elastiche $\varepsilon_{el, | ||
- | |||
- | Introduciamo nel corpo delle deformazioni impresse $\bar{\varepsilon}_B = k \, \varepsilon_{el, | ||
- | |||
- | Le deformazioni $\bar{\varepsilon}_B$ sono non congurenti e incompatibili, | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{tot, | ||
- | |||
- | Dimostrata quindi la validità della soluzione trovata, il teorema di Kirchoff ce ne assicura l' | ||
- | |||
- | Verifichiamo cosa accade a livello tensionale. Poiché $\varepsilon_{el, | ||
- | |||
- | $$\sigma_{A+B} = \sigma_{A} + \sigma_{B} = \sigma_{A} \left( 1 - k \right)$$ | ||
- | |||
- | che dimostra l' | ||
- | |||
- | Un corpo viscoelastico lineare può essere interpretato come un corpo elastico-lineare soggetto a deformazioni impresse isomorfe variabili nel tempo. Pertanto è possibile applicare il teorema dell' | ||
- | |||
- | > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | ||
- | |||
- | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe un sistema di deformazioni la cui evoluzione nel tempo ci viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare che vedremo di seguito. | ||
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- | ===== Corollario del teorema dell' | ||
- | |||
- | Un corollario del teorema dell' | ||
- | |||
- | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione, | ||
- | |||
- | Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare: | ||
- | |||
- | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, mentre lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$. | ||
- | ===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) ===== | ||
- | |||
- | Il principio di acquisizione dei vincoli posticipati afferma che: | ||
- | |||
- | > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_1$, successivo al tempo $t_0$ di applicazione del carico, viene aggiunto un vincolo (interno od esterno), lo stato di tensione precedente all' | ||
- | |||
- | Consideriamo un corpo elastico ed omogeneo in presenza di forze costanti $F$ applicate al tempo $t_0$. Il corollario del teorema dell' | ||
- | |||
- | Al tempo $t_0$ applichiamo un vincolo n+1. |
scienza_costruzioni/solido_viscoelastico_lineare.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)