scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita
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scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2014/07/03 14:09] mickele [Corollario del teorema dell'isomorfismo (1°principio della viscoelasticità lineare)] |
scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2021/06/13 13:09] (versione attuale) |
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Linea 38: | Linea 38: | ||
> In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, | ||
- | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe | + | Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe deformazioni la cui evoluzione nel tempo viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare, che vedremo |
===== Corollario del teorema dell' | ===== Corollario del teorema dell' | ||
Linea 44: | Linea 44: | ||
> L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad un sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione invece cambia restando simile a se stesso. | > L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad un sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione invece cambia restando simile a se stesso. | ||
- | Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare: | + | L' |
- | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, | + | Applicare sul medesimo solido uno stato deformativo impresso $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_B = k \; \boldsymbol{\varepsilon}_{el, |
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma}_B = \boldsymbol{0}$$ | ||
+ | |||
+ | Sommando i due sistemi A e B, lo stato deformativo complessivo sarà | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\varepsilon}_{A+B} = \boldsymbol{\varepsilon}_{el, | ||
+ | |||
+ | Lo stato tensionale invece sarà pari a | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma}_{A+B} = \boldsymbol{\sigma}_A + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\sigma}_A$$ | ||
+ | |||
+ | Il teoremo di Kirchoff ci garantisce che la soluzione appena trovata è unica. | ||
+ | |||
+ | In un corpo viscoelastico lineare omogeneo le deformazioni di fluage sono simili alle deformazioni elastiche iniziali. Applicando il corollario appena visto otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare: | ||
+ | |||
+ | > In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$. | ||
===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) ===== | ===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) ===== | ||
Linea 59: | Linea 75: | ||
Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi: | Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi: | ||
- | * un sistema $(a)$ in cui imponiamo sulla struttura scarica uno spostamento imposto $\bar{\eta}_{n+1}$; | + | * un sistema $A$ in cui imponiamo sulla struttura scarica uno spostamento imposto $\bar{\eta}_{n+1}$; |
- | * un sistema $(b)$ in cui il vincolo n+1 è applicato fin dall' | + | * un sistema $B$ in cui il vincolo n+1 è applicato fin dall' |
- | Lo stato tensionale del sistema | + | Lo stato tensionale del sistema |
- | Volendo procedere ad un' | + | Volendo procedere ad un' |
- | Indichiamo invece con $X_i^{(b)}$ le reazioni vincolari costanti del sistema $(b)$. Anche in questo caso è abbastanza agevole determinare i valori di $X_i^{(b)}$ risolvendo la struttura sotto le ipotesi elastico lineari considerando il vincolo $n+1$ find all' | + | Indichiamo invece con $X_{B,i}$ le reazioni vincolari costanti del sistema $B$. Anche in questo caso è abbastanza agevole determinare i valori di $X_{B,i}$ risolvendo la struttura sotto le ipotesi elastico lineari considerando il vincolo $n+1$ find all' |
- | $$X_i^{(b)} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow \Delta \bar{X}_i = X_i^{(b)} - \bar{X}_i$$ | + | $$X_{B,i} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow \Delta \bar{X}_i = X_{B,i} - \bar{X}_i$$ |
- | Indichiamo infine con $X_i^{(a)} (t)$ le reazioni vincolari del sistema $(a)$. Di tale funzione | + | Indichiamo infine con $X_{A,i} (t)$ le reazioni vincolari del sistema $A$. Dal 1° principio della viscoelasticità lineare sappiamo che tale funzione sarà proporzionale al valore della funzione di rilassamento del materiale $R\left(t_1, |
All' | All' | ||
- | $$X_i^{(r)} (t_1) = \bar{X}_i$$ | + | $$X_{post,i} (t_1) = \bar{X}_i$$ |
- | D' | + | D' |
- | $$ X_i^{(r)} (t_1) = X_i^{(a)} (t_1) + X_i^{(b)} (t_1)$$ | + | $$ X_{post,i} (t_1) = X_{A,i} (t_1) + X_{B,i} (t_1)$$ |
Sostituendo la prima nella seconda | Sostituendo la prima nella seconda | ||
- | $$ \bar{X}_i = X_i^{(a)} (t_1) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i | + | $$ \bar{X}_i = X_{A,i} (t_1) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i |
- | Noto il valore di $X_i^{(a)} (t)$ al tempo $t_1$, determiniamo $X_i^{(a)} (t)$ che sarà quindi pari a | + | Noto il valore di $X_{A,i} (t)$ al tempo $t_1$, applicando il 1° principio della viscoelasticità lineare, determiniamo $X_{A,i} (t)$ che sarà quindi pari a |
- | $$X_i^{(a)} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right)$$ | + | $$X_{A,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right)$$ |
La reazione del sistema a vincoli posticipati per $t > t_1$ sarà allora data dalla relazione | La reazione del sistema a vincoli posticipati per $t > t_1$ sarà allora data dalla relazione | ||
- | $$ X_i^{(r)} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow | + | $$ X_{post,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow |
- | Notiamo che per $t \longrightarrow + \infty$, $R \left( t_1, t \right) \longrightarrow 0$, e quindi $ X_i^{(r)} (t) \longrightarrow \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$, si verifica cioé che la reazione vincolare del sistema a vincolo posticipato tende alla reazione vincolare del sistema | + | Notiamo che per $t \longrightarrow + \infty$, $R \left( t_1, t \right) \longrightarrow 0$, e quindi $ X_{post,i} (t) \longrightarrow \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$, si verifica cioé che la reazione vincolare del sistema a vincolo posticipato tende alla reazione vincolare del sistema |
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