Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2014/07/03 13:22]
mickele
+++ scienza_costruzioni:solido_viscoelastico_lineare:principi_viscoelasticita [2021/06/13 13:09] (versione attuale)
@@ Linea 38: / Linea 38: @@
 > In un corpo viscoelastico lineare omogeneo a vincoli rigidi, se al tempo $t_0$ applichiamo uno stato di coazione non congruente e/o incompatibile, lo stato di deformazione rimane costante, lo stato di tensione iniziale decresce secondo la funzione di rilassamento $R(t,t_0)$.
-Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe un sistema di deformazioni la cui evoluzione nel tempo ci viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare che vedremo di seguito.
+Ad esempio, consideriamo una trave soggetta a precompressione mediante martinetti applicati alle basi, e poi bloccata. Nel tempo interviene il fluage determinando una deformazione impressa proporzionale alla deformazione elastica iniziale. Applicando quanto appena visto, lo stato di deformazione della trave non varierebbe nel tempo, mentre lo stato di tensione diminuirebbe mantenendosi simile allo stato tensionale iniziale. Sperimentalmente è difficile realizzare in pieno le suddette ipotesi perché nella realtà la nostra struttura dovrà essere soggetta almeno al peso proprio che costituirebbe un sistema di forze esterne che determinerebbe deformazioni la cui evoluzione nel tempo viene descritta dal primo principio della viscoelasticità lineare, che vedremo a breve.
 ===== Corollario del teorema dell'isomorfismo (1°principio della viscoelasticità lineare) =====
-> L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione cambia restando simile a se stesso.
+> L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad un sistema di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non modifica lo stato di sollecitazione. Lo stato di deformazione invece cambia restando simile a se stesso.
-Applicando tale corollario ad un corpo viscoelastico lineare omogeneo, otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare:
+L'applicazione del sistema di forze determina nel solido uno stato tensionale $\boldsymbol{\sigma}_A$ cui è associato uno stato deformativo elastico $\boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$ congruente e compatibile con i vincoli.
-> In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, mentre lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$.
+Applicare sul medesimo solido uno stato deformativo impresso $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_B = k \; \boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$, proporzionale a $\boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$ e quindi congruente e compatibile con i vincoli. In quanto tale lo stato tensionale associato al sistema B è nullo
+$$\boldsymbol{\sigma}_B = \boldsymbol{0}$$
+Sommando i due sistemi A e B, lo stato deformativo complessivo sarà
+$$\boldsymbol{\varepsilon}_{A+B} = \boldsymbol{\varepsilon}_{el,A} + \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}_B = \left( 1 + k \right) \boldsymbol{\varepsilon}_{el,A}$$
+Lo stato tensionale invece sarà pari a
+$$\boldsymbol{\sigma}_{A+B} = \boldsymbol{\sigma}_A + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{\sigma}_A$$
+Il teoremo di Kirchoff ci garantisce che la soluzione appena trovata è unica.
+In un corpo viscoelastico lineare omogeneo le deformazioni di fluage sono simili alle deformazioni elastiche iniziali. Applicando il corollario appena visto otteniamo il primo principio della viscoelasticità lineare:
+> In un corpo viscoelastico lineare, se al tempo $t_0$ viene applicato un sistema di forze permanenti, lo stato tensionale provocato al tempo $t_0$ si mantiene costante nel tempo, lo stato deformativo iniziale cresce secondo la funzione di fluage $J(t,t_0)$.
 ===== Principio di acquisizione dei vincoli posticipati (3° principio della viscoelasticità lineare) =====
@@ Linea 59: / Linea 75: @@
 Per analizzare cosa accade vediamo il nostro sistema come sovrapposizione di due sistemi:
-  * un sistema (a) in cui imponiamo sulla struttura scarica uno spostamento imposto $\bar{\eta}_{n+1}$;
+  * un sistema $A$ in cui imponiamo sulla struttura scarica uno spostamento imposto $\bar{\eta}_{n+1}$;
-  * un sistema (b) in cui il vincolo n+1 è applicato fin dall'istante $t_0$.
+  * un sistema $B$ in cui il vincolo n+1 è applicato fin dall'istante $t_0$.
+Lo stato tensionale del sistema $A$, per il 1° principio della viscoelasticità lineare, tende ad annullarsi per $t \rightarrow \infty$; lo stato tensionale del sistema $B$, per il 2° principio della viscoelasticità lineare, è invece costante. Sovrapponendo i due sistemi avremo che per $t \rightarrow \infty$ il corpo tenderà allo stato tensionale del sistema $B$.
+Volendo procedere ad un'analisi quantitativa, indichiamo con $X_{post,i} (t)$ le reazioni vincolari del sistema a vincoli posticipati che stiamo analizzando. Indichiamo con $\bar{X}_i$ le reazioni vincolari costanti nell'intervallo di tempo $\bar{X}_i$ $t_0 < t_1$. E' possibile determinare i valori di $\bar{X}_i$ risolvendo la struttura priva del vincolo $n+1$ con l'analisi elastica lineare. Non avendo applicato il vincolo $n+1$, la relativa reazione vincolare sarà nulla ($\bar{X}_{n+1} = 0$).
+Indichiamo invece con $X_{B,i}$ le reazioni vincolari costanti del sistema $B$. Anche in questo caso è abbastanza agevole determinare i valori di $X_{B,i}$ risolvendo la struttura sotto le ipotesi elastico lineari considerando il vincolo $n+1$ find all'istante iniziale. Definiamo inoltre le quantità $\Delta \bar{X}_i$ di modo che
+$$X_{B,i} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow \Delta \bar{X}_i = X_{B,i} - \bar{X}_i$$
+Indichiamo infine con $X_{A,i} (t)$ le reazioni vincolari del sistema $A$. Dal 1° principio della viscoelasticità lineare sappiamo che tale funzione sarà proporzionale al valore della funzione di rilassamento del materiale $R\left(t_1, t\right)$.
+All'istante $t_1$, poiché la viscoelasticità non ha ancora determinato deformazioni tali da far lavorare il vincolo $n+1$, abbiamo che
+$$X_{post,i} (t_1) = \bar{X}_i$$
+D'altronde, per come abbiamo definito i sistemi $A$ e $B$,
+$$ X_{post,i} (t_1) = X_{A,i} (t_1) + X_{B,i} (t_1)$$
+Sostituendo la prima nella seconda
+$$ \bar{X}_i = X_{A,i} (t_1) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i  \Longrightarrow X_{A,i} (t_1) = - \Delta \bar{X}_i$$
+Noto il valore di $X_{A,i} (t)$ al tempo $t_1$, applicando il 1° principio della viscoelasticità lineare, determiniamo $X_{A,i} (t)$ che sarà quindi pari a
+$$X_{A,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right)$$
+La reazione del sistema a vincoli posticipati per $t > t_1$ sarà allora data dalla relazione
-Lo stato tensionale del sistema (a), per il 1° principio della viscoelasticità lineare, tende ad annullarsi per $t \rightarrow \infty$; lo stato tensionale del sistema (b), per il 2° principio della viscoelasticità lineare, è invece costante. Sovrapponendo i due sistemi avremo che per $t \rightarrow \infty$ il corpo tenderà allo stato tensionale del sistema (b).
+$$ X_{post,i} (t) = - \Delta \bar{X}_i \cdot R \left( t_1, t \right) + \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i \Longrightarrow X_{post,i} (t_1) = \left[ 1 - R \left( t_1, t \right) \right] \Delta \bar{X}_i + \bar{X}_i $$
-Volendo procedere ad un'analisi quantitativa, indichiamo con $\bar{X}_i$ ($i=1... n+1$) le reazioni vincolari tra il tempo $t_0$ ed il tempo $t_1$, prima dell'applicazione del vincolo posticipato. Da quanto detto sopra deduciamo che tali quantità, nell'arco temporaneo indicato, sono costanti. Inoltre, non avendo applicato il vincolo $n+1$, $\bar{X}_{n+1} = 0$.
+Notiamo che per $t \longrightarrow + \infty$, $R \left( t_1, t \right) \longrightarrow 0$, e quindi $ X_{post,i} (t) \longrightarrow \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$, si verifica cioé che la reazione vincolare del sistema a vincolo posticipato tende alla reazione vincolare del sistema $B$ in cui il vincolo è presente fin dall'istante iniziale.
-Indichiamo invece con $X_i^{(b)} = \bar{X}_i + \Delta \bar{X}_i$ le reazioni vincolari del sistema (b), in cui quindi $\Delta \bar{X}_i$ è pari alla differenza $X_i^{(b)} - \bar{X}_i$

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina